Question

【題目】在平面直角坐標系中，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，∠CAB=60°，點O（0，0），點A（1，0），點B（﹣1，0），點C在第二象限，點P（﹣2，）．

（I）如圖①，求C點坐標及∠PCB的大��；

（II）將△ABC繞C點逆時針旋轉得到△MNC，點A，B的對應點分別為點M，N，S為△PMN的面積．

①如圖②，當點N落在邊CA上時，求S的值；

②求S的取值范圍（直接寫出結果即可）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）C（﹣1，2），∠PCB=30°；（Ⅱ）①21；②S的取值范圍為22．

【解析】

（Ⅰ）根據點A（1，0），點B（﹣1，0）得到AB=2，利用銳角三角函數求出BC=ABtan60°=22，得到C（﹣1，2）．過點P作PE⊥CB，垂足為點E，過點P作PF⊥x軸，垂足為點F，證明四邊形PFBE為矩形，利用P（﹣2，）求出PE=FB=1，CE=CB﹣BE=2，由tan∠PCE得到∠PCB=30°；

（Ⅱ）①如圖2，過點P作PH⊥直線MN，垂足為點H，過點P作PG⊥AC，垂足為點G，則四邊形PHNG為矩形得到PH=GN，由旋轉的性質得到CN=CB=2，MN=AB=2，由（Ⅰ）可知∠PCB=30°，PE=1，求出PC=2，∠PCG=∠PCB+∠BCA=60°，得到PH=GN=CN﹣CG=CB﹣CG=21，由三角形的面積公式求出SMNPH2×PH=PH=21；

②分兩種情況：如圖3，當點N在PC的延長線上時，S△PMN最大，如圖4，當點N在CP的延長線上時，S△PMN最小，由此得到答案.

（Ⅰ）∵點A（1，0），點B（﹣1，0），

∴OA=1，OB=1，

∴AB=2，

在Rt△ABC中，∠CAB=60°．

∵tan∠CAB，

∴BC=ABtan60°=22，

∴C（﹣1，2）．

如圖1，過點P作PE⊥CB，垂足為點E，過點P作PF⊥x軸，垂足為點F，

∴∠PFB=∠PEB=90°．

∵∠ABC=∠FBC=90°，

∴四邊形PFBE為矩形．

∵P（﹣2，），

∴OF=2，PF，

∴FB=OF﹣OB=1，

∴BE=PF，PE=FB=1，

∴CE=CB﹣BE=2．

在Rt△CPE中，

∵tan∠PCE，

∴∠PCB=30°．

（Ⅱ）①如圖2，過點P作PH⊥直線MN，垂足為點H，過點P作PG⊥AC，垂足為點G，則四邊形PHNG為矩形，

∴PH=GN．

∵△MNC是由△ABC旋轉得到的，

∴CN=CB=2，MN=AB=2．

∵∠ABC=90°，∠CAB=60°，

∴∠BCA=30°，

由（Ⅰ）可知∠PCB=30°，PE=1，

∴PC=2，∠PCG=∠PCB+∠BCA=60°．

在Rt△PCG中，∠CPG=30°，

∴CGPC=1，

∴PH=GN=CN﹣CG=CB﹣CG=21，

∴SMNPH2×PH=PH=21．

②S的取值范圍為22．

如圖3，當點N在PC的延長線上時，S△PMN最大．

此時PN=PC+CN=2+2，

∴S22．

如圖4，當點N在CP的延長線上時，S△PMN最�。�

此時PN=CN﹣CP=22，

∴S222，

∴22．

即S的取值范圍為22.