Question

【題目】如圖：在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，過點C在△ABC外作直線MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N．

(1)MN=AM+BN成立嗎？為什么？

(2)若過點C在△ABC內作直線MN，AM⊥MN于M，BN⊥MN于N，則AM、BN與MN之間有什么關系？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）MN=AM+BN成立，理由見解析；（2）MN＝BNAM，理由見解析.

【解析】

（1）利用同角的余角相等證明∠MAC＝∠NCB，由∠AMC＝∠CNB＝90°，AC＝BC，可證△AMC≌△CNB，從而有AM＝CN，MC＝BN，即可得出結論；

（2）類似于（1）的方法，證明△AMC≌△CNB，從而有AM＝CN，MC＝BN，可推出AM、BN與MN之間的數量關系．

解：（1）MN=AM+BN成立；

理由：∵AM⊥MN，BN⊥MN，

∴∠AMC＝∠CNB＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠MAC＋∠ACM＝90°，∠NCB＋∠ACM＝90°，

∴∠MAC＝∠NCB，

在△AMC和△CNB中，，

∴△AMC≌△CNB（AAS），

∴AM＝CN，MC＝BN，

∵MN＝CN＋MC，

∴MN＝AM＋BN；

（2）MN＝BNAM．

理由：∵AM⊥MN，BN⊥MN，

∴∠AMC＝∠CNB＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠MAC＋∠ACM＝90°，∠NCB＋∠ACM＝90°，

∴∠MAC＝∠NCB，

在△AMC和△CNB中，，

∴△AMC≌△CNB（AAS），

∴AM＝CN，MC＝BN，

∵MN＝MCCN，

∴MN＝BNAM．