Question

【題目】如圖，任意△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點F，過點F作DE∥BC交AB于點D，交AC于點E，那么下列結論：①∠A＝2∠BFC﹣180°；②DE﹣BD＝CE；③△ADE的周長等于AB與AC的和；④BF＞CF．其中正確的有（　　）

A.①B.①②C.①②③D.①②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

由△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點F，DE∥BC，易證得△BDF和△CEF都是等腰三角形，繼而可得DE＝BD+CE，又由△ADE的周長為：AD+DE+AE＝AB+BD+CE+AE＝AB+AC；即可得△ADE的周長等于AB與AC的和．

解：∵∠ABC與∠ACB的平分線交于點F，

∴∠FBC＝∠ABF=，∠FCB＝∠ACF=，

∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∴∠A+2∠FBC+2∠FCB=180°，

∵∠BFC+∠FCB+∠BFC=180°，

∴∠A＝2∠BFC﹣180°，

故①正確；

∵DE∥BC，

∴∠DFB＝∠FBC，∠EFC＝∠FCB，

∵△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點F，

∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠FCB，

∴∠DBF＝∠DFB，∠ECF＝∠EFC，

∴DB＝DF，EF＝EC，

∴DE＝DF+EF＝BD+CE，

故②正確；

∴△ADE的周長為：AD+DE+AE＝AB+BD+CE+AE＝AB+AC；

故③正確

∵∠ABC不一定等于∠ACB，

∴∠FBC不一定等于∠FCB，

∴BF與CF不一定相等，無法判斷其大小，

故④錯誤；

故選：C．