Question

如圖，線段AB是⊙O的直徑，⊙O交線段BC于D，且D是BC中點，DE⊥AC于E，連接AD，則下列結論正確的個數是
①CE•CA=CD•CB；②∠EDA=∠B；③OA=AC；④DE是⊙O的切線；⑤AD²=AE•AB．

1. A.
   2個
2. B.
   3個
3. C.
   4個
4. D.
   5個

Answer 1

C
分析：由DE與AC垂直，得到三角形CDE為直角三角形，而由AB為圓的直徑，根據直徑所對的圓周角為90°，得到AD與BC垂直，又D為BC中點，進而得到AD垂直平分BC，根據線段垂直平分線的性質得到AC與AB相等，故三角形ABC不是直角三角形，所以三角形CDE與ABC不相似，CE•CA與CD•CB不相等，選項①錯誤；由O為AB中點，得到AO為AB的一半，故AO為AC的一半，選項③正確；由OD為三角形ABC的中位線，根據三角形的中位線定理得到OD與AC平行，由AC與DE垂直得到OD與DE垂直，即∠ODE為90°，故DE為圓O的切線，選項④正確；由兩對對應角相等得到三角形ADE與三角形ACD相似，根據對應邊成比例得到選項⑤正確，從而得到所有正確選項的個數．
解答：解：顯然，△CED為直角三角形，而△ABC不是直角三角形，故兩三角形不相似，
所以CE•CA≠CD•CB，選項①錯誤；
連接OD，∵D為BC中點，O為AB中點，
∴DO為△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
又DE⊥AC，∴∠DEA=90°，
∴∠ODE=90°，
∴DE為圓O的切線，選項④正確；
又OB=OD，∴∠ODB=∠B，
∵AB為圓O的直徑，∴∠ADB=90°，
∵∠EDA+∠ADO=90°，∠BDO+∠ADO=90°，
∴∠EDA=∠BDO，
∴∠EDA=∠B，選項②正確；
由D為BC中點，且AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AC=AB，又OA=AB，
∴OA=AC，選項③正確；
∵∠DAC=∠EAD，∠DEA=∠CDA=90°，
∴△ADE∽△ACD，
∴=，即AD²=AE•AB，選項⑤正確；
則正確結論的個數為4個．
故選C．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，切線的判定，及三角形的中位線定理．證明切線時連接OD是解這類題經常連接的輔助線．