Question

如圖，將正△ABC分割成m個邊長為1的小正三角形和一個黑色菱形，這個黑色菱形可分割成n個邊長為1的小三角形，若

m

n

=

47

25

，則△ABC的邊長是______．

Answer 1

設正△ABC的邊長為x，則高為

3

2

x，
S_△ABC=

1

2

x•

3

2

x=

3

4

x²，
∵所分成的都是正三角形，
∴結合圖形可得黑色菱形的較長的對角線為

3

2

x-

3

，較短的對角線為（

3

2

x-

3

）

3

3

=

1

2

x-1，
∴黑色菱形的面積=

1

2

（

3

2

x-

3

）（

1

2

x-1）=

3

8

（x-2）²，
∴

m

n

=

3 4 x2- 3 8 (x-2)2

3 8 (x-2)2

=

47

25

，
整理得，11x²-144x+144=0，
解得x₁=

12

11

（不符合題意，舍去），x₂=12，
所以，△ABC的邊長是12．
故答案為：12．