Question

【題目】已知：關于x的一元二次方程kx2﹣（k﹣1）x﹣1=0

（1）求證：方程有兩個實數根；

（2）當k為何值時，此方程的兩個實數根互為相反數；

（3）我們定義：若一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個正實數根x1、x2（x1＞x2），滿足2＜＜3，則稱這個一元二次方程有兩個“夢想根”．如果關于x的一元二次方程kx2﹣（k﹣1）x﹣1=0有兩個“夢想根”，求k的范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）1（3）﹣＜k＜-或﹣3＜k＜﹣2

【解析】

試題分析：（1）根據方程的判別式，可得答案；

（2）根據互為相反數的和為零，可得關于k的方程，根據解方程，可得答案；

（3）根據方程的夢想根，可得不等式組，根據解不等式組，可得答案．

試題解析：（1）關于x的一元二次方程kx2﹣（k﹣1）x﹣1=0，

a=k，b=﹣（k﹣1），c=﹣1，

△=b2﹣4ac=[﹣（k﹣1）]2﹣4k（﹣1）=k2+2k+1=（k+1）2≥0，

關于x的一元二次方程kx2﹣（k﹣1）x﹣1=0有兩個實數根；

（2）關于x的一元二次方程kx2﹣（k﹣1）x﹣1=0，

x1=，x2=，

方程的兩個實數根互為相反數，得

x1+x2=+=0，

即=0，

解得k=1，

當k=1時，此方程的兩個實數根互為相反數；

（3）當k＞0時，x1=1，x2=﹣＜0，不符合題意；

當﹣1≤k＜0時，x1=﹣，x2=1，2＜＜3，得，

解得﹣＜k＜-；

當k＜﹣1時，x1=﹣，x2=1，由2＜＜3，得2＜﹣k＜3，

解得﹣3＜k＜﹣2不符合題意舍去，

綜上所述：于x的一元二次方程kx2﹣（k﹣1）x﹣1=0有兩個“夢想根”，k的范圍是：

﹣＜k＜-或﹣3＜k＜﹣2．