Question

【題目】在△ABC中，∠ABC=45，AD，BE分別為BC、AC邊上的高，AD、BE相交于點(diǎn)F，下列結(jié)論：

①∠FCD=45

②AE=EC

③S△ABF：S△AFC=AD：FD

④若BF=2EC，則△FDC周長(zhǎng)等于AB的長(zhǎng)．

正確結(jié)論的序號(hào)是___________．

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

根據(jù)題意利用全等三角形的性質(zhì)和三角形面積公式和三角形公共邊以及線段垂直平分線的性質(zhì)進(jìn)行綜合分析判斷即可.

解：∵∠ABC=45°，

∴AD=BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，

而∠ADB=∠ADC=90°，

∴△BDF≌△ADC，

∴FD=CD，

∴∠FCD=∠CFD=45°，

∴①正確；

若AE=EC，則∵BE⊥AC，

∴BA=BC，顯然不可能，故②錯(cuò)誤；

∵△ABC中，AD，BE分別為BC、AC邊上的高，

∴AD⊥BC，而△ABF和△ACF有一條公共邊，

∴S△ABF：S△AFC =BD：CD，

∵AD=BD ，FD=CD，

∴S△ABF：S△AFC=AD：FD，

∴③正確；

若BF=2EC，根據(jù)①得BF=AC，

∴AC=2EC，

即E為AC的中點(diǎn)，

∴BE為線段AC的垂直平分線，

∴AF=CF，BA=BC，

∴AB=BD+CD=AD+CD=AF+DF+CD=CF+DF+CD，

即△FDC周長(zhǎng)等于AB的長(zhǎng)，

∴④正確．

故答案為：①③④.