Question

【題目】材料一：把一個自然數的個位數字截太再用余下的數加上個位數的4倍，如果和是13的倍數，則原數能被13整除．如果和太大不易看出是否13的倍數，可重復上述「截尾、倍大、相加、驗和」的過程，直到能清楚判斷為止．例如，判斷377是否13的倍數的過程如下：37+7×4＝65，65÷13＝5，所以，377是13的倍數；又例如判斷8632是否13的倍數的過程如下：863+2×4＝871，87+1×4＝91，91÷13＝7．所以，8632是13的倍數．

材料二：若一個四位自然數n，滿足千位與個位相同，百位與十位相同，我們稱這個數為“對稱數”．將“對稱數”n的前兩位與后兩位交換位置得到一個新的n′，記F（n）＝，例如n＝3113，n′＝1331，（3113）＝＝18．

（1）請用材料一的方法判斷1326與3366能否被13整除；

（2）若m、p是“對稱數”，其中m＝ ，p＝（0≤b＜a≤5，1≤c＜a≤5且a，b，c均為整數），若m能被l3整除，且F（m）﹣F（p）＝36，求p．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)p＝2332．

【解析】

（1）由用材料一的方法進行判斷即可；

（2）由m能被13整除，可得b=0，a=2或3或4或5，由“對稱數”定義可得9（a-b）-9（c-a）=36，可求p的值．

解：（1）∵132+6×4＝156，15+6×4＝39，

∴1326能被13整除，

∵336+6×4＝360，36+0×4＝36，

∴3366不能被13整除；

（2）∵m能被13整除

∴100a+10b+b+4a＝104a+11b能被13整除

∴b＝0，

∵0≤b＜a≤5，1≤c＜a≤5，

∴a＝2或3或4或5，

∴F（m）＝＝9（a﹣b），

F（p）＝＝9（c﹣a），

∴9（a﹣b）﹣9（c﹣a）＝36，

∴2a﹣c＝4

當a＝2時，c＝0（舍去）；

當a＝3時，c＝2，2＜3；

∴p＝2332；

當a＝4時，c＝4（舍去）；

當a＝5時，c＝6（舍去）．

綜上所述，p＝2332．