Question

已知拋物線 經過A（2，0）． 設頂點為點P，與x軸的另一交點為點B．

（1）求b的值和點P、B的坐標；
（2）如圖，在直線上是否存在點D，使四邊形OPBD為平行四邊形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）在軸下方的拋物線上是否存在點M，使△AMP≌△AMB？如果存在,試舉例驗證你的猜想；如果不存在，試說明理由．

Answer 1

（1）頂點P的坐標為（4，-2）點B的坐標是（6，0）. （2）存在；D點的坐標為（2,2）（3）可通過證明AM="AM," ∠PAM=∠BAM,AB=AP，證明△AMP≌△AMB.

試題分析： 解：（1）∵拋物線經過A（2，0），
∴，         
解得，
∴拋物線的解析式為. 
將拋物線配方，得，
∴頂點P的坐標為（4，-2）.          
令y=0，得，解得.
∴點B的坐標是（6，0）.      
（2）在直線 y=x上存在點D，使四邊形OPBD為平行四邊形.
理由如下：設直線PB的解析式為+b，把B（6,0）,P(4,-2)分別代入，得 
解得 
∴直線PB的解析式為.       
又∵直線OD的解析式為，∴直線PB∥OD.
解法一：設直線OP的解析式為，把P(4,-2)代入，得，解得.
如果OP∥BD，那么四邊形OPBD為平行四邊形.     
設直線BD的解析式為，將B(6,0)代入，得0=，
∴        
∴直線BD的解析式為，解方程組得
∴D點的坐標為（2,2）    
解法二：過點P作x軸的垂線，垂足為點C，則PC=2，AC=2，
由勾股定理，可得AP=4，PB=4，又∵AB=4，∴△APB是等邊三角形∠PBA=∠DOB=60°,
設點D的坐標為（，），得=,
∴D點的坐標為（2,2）
（3）符合條件的點M存在.            
驗證如下：過點P作x軸的垂線，垂足為點C，則PC=2，AC=2，
由勾股定理，可得AP=4，PB=4，      
又∵AB=4，∴△APB是等邊三角形，作∠PAB的平分線交拋物線于M點，連接PM,BM,由于AM="AM," ∠PAM=∠BAM,AB=AP，             
∴△AMP≌△AMB.
因此即存在這樣的點M,使△AMP≌△AMB.            

點評：本題難度較大，主要考查學生對一次函數和拋物線綜合運用解決幾何問題的能力，為中考常考題型，注意培養數形結合思想分析能力，并運用到考試中去。