Question

【題目】已知：在內角不確定的△ABC中，AB＝AC，點E、F分別在AB、AC上，EF∥BC，平行移動EF，如果梯形EBCF有內切圓．

當＝時，sinB＝；

當＝時，sinB＝(提示：＝)；當＝時，sinB＝．

（1）請你根據以上所反映的規律，填空：當＝時，sinB的值等于______；

（2）當＝時(n是大于1的自然數)，請用含n的代數式表示sinB＝______，并畫出圖形、寫出已知、求證和證明過程．

Answer 1

【答案】（1）；（2），證明見解析．

【解析】

(1) 的分母加1即是sinB的分母，sinB的分子是2乘以的分母的算術平方根，根據規律直接寫出答案即可；

(2) 由已知條件先寫出已知和求證，再進行證明：
要想表示出sinB，需證明△AEM∽△ABN，得出，再設EM=k，則BN=nk，作EH∥MN交BC于H，則HN=EM=k．由勾股定理得，即可得出sinB的值；

解：(1)根據規律，當＝時，

sinB=，

故當＝時，sinB的值等于　

(2)．

已知：在△ABC中，AB＝AC，EF∥BC，⊙O內切于梯形EBCF，點D、N、G、M為切點，＝時(n是大于1的自然數)，如下圖．

求證：sinB＝．

證明：連結AO并延長與BC相交．

∵　⊙O內切于梯形EBCF，AB、AC是⊙O的切線，

∴　∠BAO＝∠CAO，

∵　EF∥BC，AB＝AC，

∴　AE＝AF．

又∵M、N為切點，

∴　OM⊥EF，ON⊥BC．

∴　AO⊥EF于M，AO⊥BC于N．

∵　EF∥BC，

∴　EM∥BN．

∴　△AEM∽△ABN，

∴　，

設EM＝k，則BN＝nk．

作EH∥MN交BC于H，則HN＝EM＝k．

∵　D、N、M為切點，

∴　BD＝BN＝nk，ED＝EM＝k．

在△EHB中，∠EHB＝∠MNB＝90°，

BE＝BD＋DE＝(n＋1)k，

BH＝BN-HN＝(n-1)k．

由勾股定理，得EH＝2·k．

∴sinB＝．