Question

如圖，已知平面直角坐標系中，點，為兩動點，其中，連結，．
（1）求證：；
（2）當時，拋物線經過兩點且以軸為對稱軸，求拋物線對應的二次函數的關系式；
（3）在（2）的條件下，設直線交軸于點，過點作直線交拋物線于兩點，問是否存在直線，使？若存在，求出直線對應的函數關系式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）作軸于點，軸于點，
點坐標分別為，，
又，易證，．
（2）由（1）得，，又，，
即.又
坐標為坐標為，
易得拋物線解析式為．
（3）直線為，且與軸交于點，
假設存在直線交拋物線于兩點，且使，如圖所示，
則有，作軸于點， 軸于點，

在拋物線上，設坐標為，
則，易證，，
，，
點坐標為點在拋物線上，
，解得，坐標為，
坐標為，
易得直線為．
根據拋物線的對稱性可得直線另解為．

（1）作BC⊥x軸于C點，AD⊥x軸于D點.因為，可得∠BOC+∠AOD=90°.因為BC⊥x，所以易證∠∠AOD=∠OBC,從而得△CBO∽△DOA，利用線段比求出mn．
（2）由（1）得m與BO的關系式，根據勾股定理得BO與n的關系式，從而建立m與n的一個關系式，然后利用（1）中mn=-6，求得m、n的值．然后得A，B的坐標以及拋物線解析式．
（3）利用待定系數法求出直線AB解析式，從而求出F點的坐標.過作PM⊥y軸于M點，QN⊥y軸于N點，根據同底等高的三角形面積比等于高的比得PM:QN=1:3.易證△PMF∽△QNF，設坐標為，易得QN、NF、ON的長，進而表示出點Q的坐標.因為點Q在二次函數上，所以求得t的值.從而得直線的解析式，根據對稱性得到第二條直線的解析式.