Question

【題目】如圖，已知直線經過點和，分別與x軸、y軸交于A、B兩點．

(1)求直線的解析式：

(2)若把橫、縱坐標均為整數的點稱為格點，則圖中陰影部分(不包括邊界)所含格點的個數有　　　個；

(3)作出點關于直線的對稱點，則點的坐標為　　　；

(4)若在直線和軸上分別存在一點使的周長最短，請在圖中標出點(不寫作法，保留痕跡).

Answer 1

【答案】(1)；(2)10；(3)作圖見解析，D(6，2)；(4)作圖見解析

【解析】

(1)先利用待定系數法求得直線AB的解析式為；
(2)分別把x=2、3、4、5代入，求出對應的縱坐標，從而得到圖中陰影部分(不包括邊界)所含格點的坐標；
(3)首先作出點C關于直線AB的對稱點D，根據直線AB的解析式可知△OAB是等腰直角三角形，然后根據軸對稱的性質即可求出點D的坐標；
(4)作出點C關于直線y軸的對稱點E，連接DE交AB于點M，交y軸于點N，則此時△CMN的周長最短．

(1)設直線AB的解析式為，
把(1，5)，(4，2)代入得，，

解得，
∴直線AB的解析式為；
(2)當x=2，y=4；
當x=3，y=3；
當x=4，y=2；
當x=5，y=1．
∴圖中陰影部分(不包括邊界)所含格點的有：
(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，
(2，1)，(2，2)，(2，3)，
(3，1)，(3，2)，
(4，1)．
一共10個；
故答案為：10；
(3)如圖，點D就是所求作的點；

∵直線與軸、y軸交于A、B兩點，

令，則；令，則；
∴A點坐標為(6，0)，B點坐標為(0，6)，
∴OA=OB=6，∠OAB=45°．

∵點C關于直線AB的對稱點為D，點C(4，0)，
∴AD=AC=2，AB⊥CD，
∴∠DAB=∠CAB=45°，
∴∠DAC=90°，
∴點D的坐標為(6，2)；
(4)如圖，點M、N就是所求的點；

作出點C關于直線y軸的對稱點E，連接DE交AB于點M，交y軸于點N，則NC=NE，點E(-4，0)．
又∵點C關于直線AB的對稱點為D，
∴CM=DM，
∴△CMN的周長=CM+MN+NC=DM+MN+NE=DE，此時周長最短．