Question

【題目】(1)如圖1，△ABC中，作∠ABC、∠ACB的平分線相交于點O，過點O作EF∥BC分別交AB、AC于E、F.

①求證：OE=BE.

②若△ABC的周長是25，BC=9，試求出△AEF的周長.

(2)如圖2，若∠ABC的平分線與∠ACB外角∠ACD的平分線相交于點P，連接AP，若∠BAC=80°，∠PAC的度數？

Answer 1

【答案】（1）①見解析，②16；（2）50°

【解析】

（1）①由角平分線的性質、等腰三角形的性質和平行線的性質即可得到結論；②根據三角形的周長公式即可得到結論；

（2）延長BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，根據角平分線的性質先證的PF=PM，得出∠FAP=∠PAC即可得出答案.

（1）①∵BO平分∠ABC

∴∠EBO=∠OBC

∵EF∥BC

∴∠EOB=∠OBC

∴∠EOB=∠EBO

∴OE=BE；

②同理可得：OF=FC

∵△ABC的周長是25，BC=9

∴△AEF的周長=AE+AF+EF=AE+AF+EB+FC=AB+AC=25-9=16；

（2）延長BA，做PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，如圖所示：

∵CP平分∠ACD，

∴PM=PN，

∵BP平分∠ABC，

∴PF=PN，

∴PF=PM，

∴∠FAP=∠PAC，

∴∠FAC=2∠PAC，

∵∠FAC+∠BAC=180°，

∴2∠PAC+∠BAC=180°

∴2∠PAC+80°=180°

∴∠PAC=50°.