Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，直線AB交y軸于點A（0，1），交x軸于點B（3，0）．直線x=1交AB于點D，交x軸于點E，P是直線x=1上一動點，在點D的上方，設P（1，n）．

（1）求直線AB的解析式；

（2）求△ABP的面積（用含n的代數式表示）；

（3）當S△ABP=2時，以PB為邊在第一象限作等腰直角三角形BPC，求出點C的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=x+1；（2）；（3）點C的坐標是（3，4）或（5，2）或（3，2）．

【解析】

（1）把的坐標代入直線的解析式，即可求得的值，然后在解析式中，令，求得的值，即可求得的坐標；

（2）利用即可求出結果；

（3）分三種情況討論，當、、分別為等腰直角三角形的直角頂點時，求出點的坐標分別為、、。

(1)設直線AB的解析式是y=kx+b

把A（0，1），B（3，0）代入得：

解得：

∴直線AB的解析式是:

（2）過點A作AM⊥PD，垂足為M，則有AM=1，

∵x=1時，=，P在點D的上方，

∴PD=n﹣，

由點B（3，0），可知點B到直線x=1的距離為2，即△BD的邊PD上的高長為2，

∴，

∴；

（3）當S△ABP=2時，，解得n=2，∴點P（1，2）．

∵E（1，0）， ∴PE=BE=2，

∴∠EPB=∠EBP=45°．

第1種情況，如圖1，∠CPB=90°，BP=PC，

過點C作CN⊥直線x=1于點N．

∵∠CPB=90°，∠EPB=45°，

∴∠NPC=∠EPB=45°．

又∵∠CNP=∠PEB=90°，BP=PC，

∴△CNP≌△BEP，∴PN=NC=EB=PE=2，

∴NE=NP+PE=2+2=4， ∴C（3，4）．

第2種情況，如圖2, ∠PBC=90°，BP=BC，

過點C作CF⊥x軸于點F．

∵∠PBC=90°，∠EBP=45°，

∴∠CBF=∠PBE=45°．

又∵∠CFB=∠PEB=90°，BC=BP，

∴△CBF≌△PBE．

∴BF=CF=PE=EB=2，

∴OF=OB+BF=3+2=5， ∴C（5，2）．

3種情況，如圖3，∠PCB=90°，

∴∠CPB=∠EBP=45°，

∴△PCB≌△ BEP，

∴PC=CB=PE=EB=2，∴C（3，2）．

∴以PB為邊在第一象限作等腰直角三角形BPC，

綜上所述點C的坐標是（3，4）或（5，2）或（3，2）．