Question

【題目】如圖1，點A在x軸上，OA＝4，將OA繞點O逆時針旋轉120°至OB的位置．

（1）求經過A、O、B三點的拋物線的函數解析式；

（2）在此拋物線的對稱軸上是否存在點P使得以P、O、B三點為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；

（3 ）如圖2，OC＝4，⊙A的半徑為2，點M是⊙A上的一個動點，求MC+OM的最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣x；（2）存在△POB為等腰三角形，符合條件的點P只有一個，坐標為（2，2）；（3）MC+OM的最小值為CK＝5．

【解析】

（1）設出拋物線解析式，利用待定系數法求出拋物線解析式即可

(2)設點P的坐標為(2，y)，分三種情況討論，①OB=OP，②2OB=PB，③OP=PB，分別求出y的值，即可得出點P的坐

（3）在OA上取點K，使AK＝1，連接CK交圓與點M，連接OM、CM ，利用△AKM∽△AMO ，求出MC+OM＝MC+KM＝CK，即可解答

（1）如圖1，過點B作BD⊥x軸于點D，

∴∠BDO＝90°，

∵OA繞點O逆時針旋轉120°至OB，

∴OB＝OA＝4，∠AOB＝120°，B在第二象限，

∴∠BOD＝60°，

∴sin∠BOD＝ ，cos∠BOD＝ ，

∴BD＝ OB＝2 ，OD＝ OB＝2，

∴B（﹣2，2），

設過點A（4，0），B（﹣2，2），O（0，0）的拋物線解析式為y＝ax2+bx+c，

∴ 解得： ，

∴拋物線的函數解析式為y＝ x2﹣ x；

（2）存在△POB為等腰三角形，

∵拋物線與x軸交點為A（4，0），O（0，0），

∴對稱軸為直線x＝2，

設點P坐標為（2，p），

則OP2＝22+p2＝4+p2，BP2＝（2+2）2+（p﹣2 ）2＝p2﹣4p+28，

①若OP＝OB＝4，則4+p2＝42

解得：p1＝2，p2＝﹣2，

當p＝﹣2時，∠POA＝60°，即點P、O、B在同一直線上，

∴p≠﹣2，

∴P（2，2），

②若BP＝OB＝4，則p2﹣4p+28＝42

解得：p1＝p2＝2，

∴P（2，2）；

③若OP＝BP，則4+p2＝p2﹣4p+28，

解得：p＝2，

∴P（2，2）；

綜上所述，符合條件的點P只有一個，坐標為（2，2）；

（3）在OA上取點K，使AK＝1，連接CK交圓與點M，連接OM、CM，

此時，MC+ OM＝MC+KM＝CK為最小值，

理由：∵AK＝1，MA＝2，OA＝4，

∴AM2＝AKOA，而∠MAO＝∠OAM，

∴△AKM∽△AMO，∴ ＝，

即：MC+OM＝MC+KM＝CK，

CK＝ ＝5，

即：MC+OM的最小值為CK＝5．