Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點P從點A開始以1cm/s的速度沿AB邊向點B運動，點Q從點B以2cm/s的速度沿BC邊向點C運動，如果P、Q同時出發，設運動時間為ts，
（1）當t=2時，求△PBQ的面積；
（2）當t=時，試說明△DPQ是直角三角形；
（3）當運動3s時，P點停止運動，Q點以原速立即向B點返回，在返回的過程中，DP是否能平分∠ADQ？若能，求出點Q運動的時間；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）8；（2）見解析;（3）能，運動5.625S

【解析】

（1）易得PB和BQ的長度，那么△PBQ的面積=×PB×BQ把相關數值代入即可求解；
（2）利用勾股定理可得DP，PQ，DQ的長度，證明DQ2+PQ2=DP2即可；
（3）易得AP=3，Q在BC上．設出BQ的長度為x，則利用相似可得OB與OA，根據12：DO=AP：PO，可得x的值，求得相應時間加上原來的3秒即為所求時間．

（1）當t=2時，AP=t=2，BQ=2t=4，
∴BP=AB-AP=4，
∴△PBQ的面積=×4×4=8；
（2）當t=時，AP=1.5，PB=4.5，BQ=3，CQ=9，
∴DP2=AD2+AP2=2.25+144=146.25，PQ2=PB2+BQ2=29.25，DQ2=CD2+CQ2=117，
∵PQ2+DQ2=DP2，
∴∠DQP=90°，
∴△DPQ是直角三角形．

（3）設存在點Q在BC上，延長DQ與AB延長線交于點O．
設QB的長度為x，則QC的長度為（12-x），
∵DC∥BO，
∴∠C=∠QBO，∠CDQ=∠O，
∴△CDQ∽△BOQ，又CD=6，QB=x，QC=12-x，
∴，即，
解得：BO= ，
∴AO=AB+BO=6+，
∵∠ADP=∠ODP，
∴12：DO=AP：PO，
代入解得x=0.75，
∴DP能平分∠ADQ，
∵點Q的速度為2cm/s，
∴P停止后Q往B走的路程為（6-0.75）=5.25cm．
∴時間為2.625s，加上剛開始的3s，Q點的運動時間為5.625s．