Question

【題目】已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O為坐標原點，OA所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，點B在第一象限內．將Rt△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內的點C處．

（1）求點C的坐標；
（2）若拋物線y=ax2+bx（a≠0）經過C、A兩點，求此拋物線的解析式；
（3）若上述拋物線的對稱軸與OB交于點D，點P為線段DB上一動點，過P作y軸的平行線，交拋物線于點M，問：是否存在這樣的點P，使得四邊形CDPM為等腰梯形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：過點C作CH⊥x軸，垂足為H；

∵在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，

∴OB=4，OA=2 ；

由折疊的性質知：∠COB=30°，OC=AO=2 ，

∴∠COH=60°，OH= ，CH=3；

∴C點坐標為（ ，3）

（2）解：∵拋物線y=ax2+bx（a≠0）經過C（ ，3）、A（2 ，0）兩點，

∴ ，

解得 ；

∴此拋物線的函數關系式為：y=﹣x2+2 x

（3）解：存在．

∵y=﹣x2+2 x的頂點坐標為（ ，3），

即為點C，MP⊥x軸，垂足為N，設PN=t；

∵∠BOA=30°，

∴ON= t，

∴P（ t，t）；

作PQ⊥CD，垂足為Q，ME⊥CD，垂足為E；

把x= t代入y=﹣x2+2 x，

得y=﹣3t2+6t，

∴M（ t，﹣3t2+6t），E（ ，﹣3t2+6t），

同理：Q（ ，t），D（ ，1）；

要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CE=QD，

即3﹣（﹣3t2+6t）=t﹣1，

解得t= ，t=1（舍去），

∴P點坐標為（ ， ），

∴存在滿足條件的P點，使得四邊形CDPM為等腰梯形，此時P點坐標為（ ， ）

【解析】（1）根據直角三角形的性質，求出OA、OB的值，由折疊的性質，得到C點坐標；（2）由拋物線經過C、A兩點，由待定系數法求出拋物線的函數關系式；（3）根據拋物線的解析式，求出拋物線的頂點坐標，由∠BOA=30°，得到P點的坐標，求出M、E、Q、D的坐標，根據要使四邊形CDPM為等腰梯形，只需CE=QD，求出P點坐標；此題是綜合題，難度較大，計算和解方程時需認真仔細.