Question

如圖，已知：△ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝BC，P是AB上任一點．

求證：AP²＋BP²＝2PC²．

Answer 1

答案：
解析：

證法一：過P點作PD⊥AC，PE⊥BC，垂足分別為D、E，容易證明 　　AD＝PD，BE＝PE＝CE． 　　在Rt△APD中，AP2＝AD2＋PD2＝2PD2． 　　在Rt△BPE中， 　　BP2＝BE2＋PE2＝2PE2＝2CD2． 　　∴AP2＋BP2＝2PD2＋2CD2＝2(PD2＋CD2)． 　　在Rt△PCD中，PC2＝PD2＋CD2．∴AP2＋BP2＝2PC2． 　　證法二：如圖，過C點作CD⊥AB，垂足為D． 　　∵AC＝BC，∠ACB＝Rt∠， 　　∴AD＝BD＝CD． 　　∴AP2＋BP2＝(AD－PD)2＋(BD＋PD)2 　　＝(CD－PD)2＋(CD＋PD)2 　　＝CD2－2CD·PD＋PD2＋CD2＋2CD·PD＋PD2 　　＝2(CD2＋PD2)． 　　在Rt△PDC中，PC2＝CD2＋PD2，AP2＋BP2＝2PC2．

提示：

注：在構(gòu)造直角二角形證線段的平方和或平方差時，可以發(fā)現(xiàn)往往一題有多種處理手段，同學(xué)們在平時處理問題的過程中，應(yīng)加以分析理解，從而達到消化吸收的目的．值得提出的是：方法二中的變換是代數(shù)的恒等變形，在幾何證明中經(jīng)常用到，應(yīng)引起同學(xué)們的注意和重視．