Question

【題目】如圖1，已知平行四邊形ABCD頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，6），點(diǎn)B在y軸上，且AD∥BC∥x軸，過(guò)B，C，D三點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），點(diǎn)F（m，6）是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，直線OF交BC于點(diǎn)E．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）設(shè)四邊形ABEF的面積為S，請(qǐng)求出S與m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；

（3）如圖2，過(guò)點(diǎn)F作FM⊥x軸，垂足為M，交直線AC于P，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥y軸，垂足為N，連接MN，直線AC分別交x軸，y軸于點(diǎn)H，G，試求線段MN的最小值，并直接寫出此時(shí)m的值．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=x2﹣x+3；（2）S=m﹣3（2＜m≤6）；（3）當(dāng)m=時(shí)，MN最小=．

【解析】試題分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和拋物線的特點(diǎn)確定出點(diǎn)D，然而用待定系數(shù)法確定出拋物線的解析式．（2）根據(jù)AD∥BC∥x軸，且AD，BC間的距離為3，BC，x軸的距離也為3，F（m，6），確定出E（，3），從而求出梯形的面積．（3）先求出直線AC解析式，然后根據(jù)FM⊥x軸，表示出點(diǎn)P（m，﹣m+9），最后根據(jù)勾股定理求出MN=，從而確定出MN最大值和m的值．

試題解析：（1）∵過(guò)B，C，D三點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），

∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4，BC=4，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AD=BC=4，

∵A（2，6），

∴D（6，6），

設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣2）2+2，

∵點(diǎn)D在此拋物線上，

∴6=a（6﹣2）2+2，

∴a=，

∴拋物線解析式為y=（x﹣2）2+2=x2﹣x+3，

（2）∵AD∥BC∥x軸，且AD，BC間的距離為3，BC，x軸的距離也為3，F（m，6）

∴E（，3），

∴BE=，

∴S=（AF+BE）×3=（m﹣2+）×3=m﹣3

∵點(diǎn)F（m，6）是線段AD上，

∴2≤m≤6，

即：S=m﹣3（2≤m≤6）．

（3）∵拋物線解析式為y=x2﹣x+3，

∴B（0，3），C（4，3），

∵A（2，6），

∴直線AC解析式為y=﹣x+9，

∵FM⊥x軸，垂足為M，交直線AC于P

∴P（m，﹣m+9），（2≤m≤6）

∴PN=m，PM=﹣m+9，

∵FM⊥x軸，垂足為M，交直線AC于P，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥y軸，

∴∠MPN=90°，

∴MN===

∵2≤m≤6，

∴當(dāng)m=時(shí)，MN最小==．