Question

【題目】如圖，在等邊中，，射線，點從點出發沿射線以的速度運動，同時點從點出發沿射線以的速度運動，設點運動的時間為.

（1）當點在線段上運動時，_________，當點在線段的延長線上運動時，_________（請用含的式子表示）；

（2）在整個運動過程中，當以點，，，為頂點的四邊形是平行四邊形時，求的值；

（3）求當_________時，，兩點間的距離最小.

Answer 1

【答案】（1）9－2t，2t－9；（2）t的值為3或9；（3）t=4.5．

【解析】

（1）求出運動路線BF的長度，分當F在線段BC上時，CF=BC－BF，當F在線段的延長線上運動時，CF=BF－BC，求解即可；

（2）分別從當點F在C的左側時與當點F在C的右側時去分析，由當AE=CF時，以A、C、E、F為頂點四邊形是平行四邊形，可得方程，解方程即可求得答案；

（3）當，兩點間的距離最小時，即EF⊥BC，取線段BC的中點D，四邊形ADFE是矩形，利用AE=DF可得方程，解方程即可得出答案．

解：（1）∵運動時間為，

∴，

∵△ABC為等邊三角形，

∴AB=BC=AC=9，

∴當點F在線段BC上運動時，CF=9－2t，

當點F在線段BC的延長線上運動時，CF=2t－9；

故答案為：9－2t，2t－9；

（2）當點F在C的左側時（含點C），根據題意得：

CF=9－2t，AE=t，

∵AG∥BC，

∴當AE=CF時，四邊形AECF是平行四邊形，

即t=9－2t，

解得：t=3；

當點F在C的右側時，根據題意得：

CF=2t－9，

∵AG∥BC，

∴當AE=CF時，四邊形AEFC是平行四邊形，

即2t－9=t，

解得：t=9，

綜上可得：當以點A，C，E，F為頂點的四邊形是平行四邊形時，t的值為3或9；

（3）若E，F兩點間的距離最小，

則EF⊥BC，

過A作AD⊥BC于D，則AD也是BC邊的中線，

∵AB=BC=AC=9，

∴BD=CD=4.5，

∴DF=2t－4.5

∵AD⊥BC

∴四邊形AEFD為矩形，

∴此時AE=DF，

∴t=2t－4.5，

解得t=4.5，

∴當t=4.5時，，兩點間的距離最小；