Question

【題目】如圖，拋物線經過點和點，與y軸交于點C，點P為其頂點，對稱軸l與x軸交于點D，拋物線上C、E兩點關于對稱軸l對稱．

求拋物線的函數表達式；

點G是線段OC上一動點，是否存在這樣的點G，使與相似，若存在，請求出點G坐標，若不存在請說明理由．

平移拋物線，其頂點P在直線上運動，移動后的拋物線與直線的另一交點為M，與原對稱軸l交于點Q，當是以PM為直角邊的直角三角形時，請寫出點Q的坐標．

Answer 1

【答案】（1）；（2）G坐標為或，見解析；（3）Q的坐標為或．

【解析】

用兩點式表示函數的表達式，即可求解；

利用與相似，則，或，即可求解；

設圖象向左平移m個單位，則沿，相當于向下同時平移了m個單位，則平移后點、點、，即可求解．

解：用兩點式表示函數的表達式為：，

令，則，函數對稱軸為，則點P坐標為，點E的坐標；

如圖2，設，則，

與相似，則，或，

其中，，，則，

將上述數值代入比例關系得：或2，

即點G坐標為或；

設圖象向左平移m個單位，則沿，相當于向下同時平移了m個單位，

則平移后點P坐標，

平移后拋物線的表達式為：，

當時，，即點，

直線表達式為，

聯立并求解得：，

直線PM表達式中的k值為：，

同理直線PQ表達式中的k值為：，

同理直線PM表達式中的k值為：，

當時，

，解得：，

當時，

同理可得：，

故點Q的坐標為或．