Question

【題目】如圖，以△ABC的三邊為邊在BC的同側分別作三個等邊三角形△ABD，△BCE，△ACF，請解答下列問題：

（1）求證：四邊形AFED是平行四邊形；

（2）當△ABC滿足 時，四邊形AFED是矩形．

當△ABC滿足 時，四邊形AFED是菱形．

當△ABC滿足 時，四邊形AFED是正方形．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2） ； ∠BAC≠60°且AB=AC；且AB=AC

【解析】

（1）根據全等三角形的判定定理SAS證得△BDE≌△BAC，所以DE=AC=AF，同理可證△ABC≌△FEC，得出EF=AB=AD，所以四邊形ADEF為平行四邊形；
（2）根據ADEF是矩形，則可得出，利用在點A處組成的周角即可算出∠BAC的度數．

當AB=AC且∠BAC≠60°時，根據菱形的判定推出即可；

在四邊形AEDF是矩形的條件下再加AB=AC，即可得出結論．

（1）證明：四邊形ADEF是平行四邊形．
理由：∵△ABD，△BEC都是等邊三角形，
∴BD=AB，BE=BC，∠DBA=∠EBC=60°，
∴∠DBE=60°-∠EBA，∠ABC=60°-∠EBA，
∴∠DBE=∠ABC，
在△DBE和△ABC中

∴△DBE≌△ABC，
∴DE=AC，
又∵△ACF是等邊三角形，
∴AC=AF，∴DE=AF．
同理可得：△ABC≌△FEC，即EF=AB=DA．
∵DE=AF，DA=EF，
∴四邊形ADEF為平行四邊形；

（2）解：當△ABC滿足∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形；

理由：若四邊形ADEF為矩形，則∠DAF=90°，
∵∠DAB=∠FAC=60°，
∴∠BAC=360°-∠DAB-∠FAC-∠DAF=360°-60°-60°-90°=150°，
∴當△ABC滿足∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形；

∵當∠BAC=60°時，四邊形ADEF中的A點與E點重合，此時以A、D、E、F為頂點的四邊形不存在．

∴當∠BAC≠60°且AB=AC時，四邊形AFED是菱形，
理由：∵由（1）知：四邊形AFED是平行四邊形；AD=AB=EF，AC=DE=AF，
∵AB=AC，∴AD=AF，

∴平行四邊形AFED是菱形；

當∠BAC=150°且AB=AC，四邊形ADEF是正方形．

理由：∵∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形；

∵AB=AC時，四邊形AFED是菱形；

∴當∠ABC=150°，AB=AC時，四邊形ADEF是正方形．