Question

【題目】（1）模型建立：

如圖，等腰直角三角形中，，，直線經過點，過作于，過作于.求證：；

（2）模型應用：

①如圖，一次函數的圖象分別與軸、軸交于點、，以線段為腰在第一象限內作等腰直角三角形，則點的坐標為___________（直接寫出結果）

②如圖，在和中，，，，連接、，作于點，延長與交于點，求證：是的中點.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①或，②見解析

【解析】

（1）利用同角的余角相等判斷出∠CAD=∠BCE，然后利用AAS證明全等，即可得出結論；

（2）①先求出點A和點B的坐標，得到BO=4，AO=2，由為等腰直角三角形，可分為兩種情況：AB=AC或AB=BC，分別求出點C坐標即可；

②作交的延長線于，作于，先由AAS證明≌，得到，同理可證，則，然后證明≌，即可得到結論.

解：（1），，

，，

，

，

，

在和中

，

；

（2）①∵一次函數的圖象分別與軸、軸交于點、，

令，則；令，則；

∴點A為（2，0），點B為（0，4），

∴BO=4，AO=2；

∵為等腰直角三角形，

當AB=AC時，有∠BAC=90°，如圖：

與（1）同理，得△ABO≌△CAD，

∴AD=BO=4，CD=AO=2，

∴OD=AO+AD=2+4=6，

∴點C的坐標為：；

當AB=BC時，有∠ABC=90°，如圖：

與（1）同理，得△ABO≌△BCE，

∴CE=BO=4，BE=AO=2，

∴OE=2+4=6，

∴點C坐標為：；

故答案為：或.

②如圖，作交的延長線于，作于，

，

，

；

在與中，，

，

，

同理，，

，

在與中，，

，

，

是的中點.