Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與邊BC交于點D，DE⊥AC，垂足為E，交AB的延長線于點F．

（1）求證：EF是⊙O的切線；

（2）若∠C=60°，AC=12，求的長．

（3）若tanC=2，AE=8，求BF的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2) 2π；(3).

【解析】分析：（1）連接OD，根據等腰三角形的性質：等邊對等角，得∠ABC=∠C，∠ABC=∠ODB，從而得到∠C=∠ODB ，根據同位角相等，兩直線平行，得到OD∥AC，從而得證OD⊥EF，即 EF是⊙O的切線；

（2） 根據中點的性質，由AB=AC=12 ，求得OB=OD==6，進而根據等邊三角形的判定得到△OBD是等邊三角形，即∠BOD=600，從而根據弧長公式七屆即可；

（3）連接AD ，根據直角三角形的性質，由在Rt△DEC中, 設CE=x,則DE=2x，然后由Rt△ADE中, ，求得DE、CE的長，然后根據相似三角形的判定與性質求解即可.

詳解：（1）連接OD ∵AB=AC ∴∠ABC=∠C

∵OD=OB ∴∠ABC=∠ODB

∴∠C=∠ODB ∴OD∥AC

又∵DE⊥AC ∴OD⊥DE，即OD⊥EF

∴EF是⊙O的切線

（2） ∵AB=AC=12 ∴OB=OD==6

由（1）得：∠C=∠ODB=600

∴△OBD是等邊三角形 ∴∠BOD=600

∴= 即的長

（3）連接AD ∵DE⊥AC ∠DEC=∠DEA=900

在Rt△DEC中, 設CE=x,則DE=2x

∵AB是直徑 ∴∠ADB=∠ADC=900

∴∠ADE+∠CDE=900 在Rt△DEC中,∠C+∠CDE=900

∴∠C=∠ADE 在Rt△ADE中,

∵ AE=8，∴DE=4 則CE=2

∴AC=AE+CE=10 即直徑AB=AC=10 則OD=OB=5

∵OD//AE ∴△ODF∽△AEF

∴ 即：

解得：BF= 即BF的長為.