Question

【題目】閱讀下列材料：

對于任意正實數a、b，

∵，

當且僅當時，等號成立．

結論：在均為正實數)中，若為定值則當且僅當時，a+b有最小值．

拓展：對于任意正實數，都有當且僅當時，等號成立．

在(a、b、c均為正實數)中，若為定值，則當且僅當時，有最小值

例如：則，當且僅當，即時等號成立．

又如：若求的最小值時，因為當且僅當，即時等號成立，故當時，有最小值．

根據上述材料，解答下列問題：

（1）若a為正數，則當a=______時，代數式取得最小值，最小值為_____；

（2）已知函數與函數，求函數的最小值及此時的值；

（3）我國某大型空載機的一次空載運輸成本包含三部分：一是基本運輸費用，共8100元；二是飛行耗油，每一百公里1200元；三是飛行報耗費用，飛行報耗費用與路程(單位：百公里)的平方成正比，比例系數為0.04，設該空載機的運輸路程為百公里，則該空載機平均每一百公里的運輸成本最低為多少？

Answer 1

【答案】（1），；（2）y1+y2的最小值為12，此時x=2；（3）該空載機平均每一百公里的運輸成本y最低1236元．

【解析】

（1）根據當且僅當時，等號成立即可得答案；

（2）把變形為+，根據當且僅當=c時，等號成立即可得答案；

（3）由飛行報耗費用與路程(單位：百公里)的平方成正比可得每百公里的飛行報耗費用為0.04x，根據基本運輸費用共8100元，可得每百公里費用為，根據當且僅當時，可求出基本運輸費用和飛行報耗費用的最小值，進而可得答案．

（1）≥2=，當且僅當2a=時，等號成立，

∴2a2=1，

∵a＞0，

∴a=，

∴當a=時，代數式取得最小值，最小值為，

故答案為：，

（2）∵y1+y2=x2+=x2++≥=12，當且僅當x2==時，等號成立，

∴x3=8，

解得：x=2，

∴y1+y2的最小值為12，此時x=2．

（3）∵飛行報耗費用與路程(單位：百公里)的平方成正比，比例系數為0.04，

∴飛行報耗費用為0.04x2，

∴飛行報耗費用每百公里為0.04x，

∵基本運輸費用共8100元，

∴基本運輸費用每百公里為，

∵飛行耗油每一百公里1200元，

∴平均每一百公里的運輸成本=+0.04x+1200≥2+1200=1236（元），

∴該空載機平均每一百公里的運輸成本y最低1236元．