Question

（2012•樂陵市二模）操作觀察：
一個三角形的三條邊為a、b、c，其中a=6cm，b+c=10cm，這個三角形面積的最大值是多少？
可以用以下的實驗方法：如圖
①把一根16cm的細線結成一個環；
②把細線的6cm長的一段拉直，并固定這段線的兩端B、C；
③在細線的另一部分上任取一點A，拉動點A，使細線圍成△ABC；
④移動點A在細線上的位置，觀察△ABC的面積何時最大，求出最大面積．
拓展應用：
（1）一個平行四邊形的四條邊為a、b、c、d，其中a、b為對邊，c、d為對邊，且a+b=6cm，c+d=10cm，這個平行四邊形面積的最大值是多少？
（2）一個梯形的四條邊為a、b、c、d，其中a、b為對邊，c、d為對邊，且a=8cm，b=2cm，c+d=10cm，這個梯形面積的最大值是多少？

Answer 1

分析：操作觀察：不難發現，當b=c時，點A到到BC的距離AD最大，此時△ABC的面積最大，然后利用勾股定理列式求出AD的長，再根據三角形的面積公式列式計算即可得解；
拓展應用：（1）根據平行四邊形的對邊相等求出a、c，再根據a、c互相垂直時，即平行四邊形為矩形時面積最大，然后列式計算即可得解；
（2）根據操作結論，當c、d相等時，梯形的面積最大，然后作輔助線構造出以腰長為斜邊的直角三角形，再利用勾股定理列式求出等腰梯形的高，根據梯形的面積公式列式計算即可得解．

解答：操作觀察：根據操作，當AB=AC，即b=c=

1

2

×10=5cm時，
BC邊上的高AD最長，
此時BD=

1

2

×6=3cm，
AD=

AB2-BD2

=

52-32

=4cm，
△ABC的最大面積=

1

2

×6×4=12cm²；

拓展應用：（1）∵a+b=6cm，c+d=10cm，
∴a=

1

2

×6=3cm，c=

1

2

×10=5cm，
當a⊥c時，平行四邊形面積的最大，
此時，平行四邊形為矩形，最大面積=3×5=15cm²；

（2）如圖，當c、d相等時，梯形的面積最大，
此時，

1

2

（a-b）=

1

2

（8-2）=3cm，
c=

1

2

×10=5cm，
梯形的高h=

52-32

=4cm，
梯形的最大面積=

1

2

（a+b）•h=

1

2

×（2+8）×4=20cm²．

點評：本題是四邊形綜合題型，讀懂題目信息，根據操作，觀察出面積最大時的高的位置是解題的關鍵，也是本題的難點．