Question

【題目】如圖1，已知△ABC中，AB=AC，點D是△ABC外一點(與點A分別在直線BC兩側).且DB=DC，過點D作DE//AC，交射線AB于E，連接AD交BC于F.

(1)求證：AD垂直BC；

(2)如圖1，點E在線段AB上且不與B重合時，求證：DE=AE；

(3)如圖2，當點E在線段AB的延長線上時，請直接寫出線段DE，AC，BE的數量關系.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）DE=AC+BE

【解析】

（1）根據線段垂直平分線的判定定理即可得到結論；
（2）根據等腰三角形的性質得到∠BAF=∠CAF，根據平行線的性質得到∠CAF=∠ADE，等量代換得到∠BAF=∠ADE，于是得到DE=AE；

（3）由（1）得AF⊥BC，根據等腰三角形的性質得到∠BAF=∠CAE，根據平行線的性質得到∠EDA=∠CAF，等量代換得到∠BAF=∠EDA于是得到結論．

(1)∵AB=AC

∴點A在線段BC的垂直平分線上，

∵DB=DC

∴點D在線段BC的垂直平分線上，

∴直線AD是BC的垂直平分線，

∴AD垂直BC；

(2)∵AB=AC，AD⊥BC

∴∠BAD=∠CAD

∵DE∥AC

∴∠EDA=∠CAD

∴∠BAD=∠EDA

∴DE=AE

(3) DE=BE+AC，

由（1）得AF⊥BC，

∵AB=AC，

∴∠BAF=∠CAF，

∵DE∥AC，

∴∠EDA=∠CAF，

∴∠BAF=∠EDA，

∴EA=ED，

∵EA=EB+BA=EB+AC，

∴DE=BE+AC．