Question

【題目】如圖(1),在平面直角坐標系x Oy中,直線y=2x+4與y軸交于點A,與x軸交于點B,拋物線C1:y=x2+bx+c過A，B兩點，與x軸的另一交點為點C.

(1)求拋物線C1的解析式及點C的坐標；

(2)如圖(2),作拋物線C2,使得拋物線C2與C1恰好關于原點對稱,C2與C1在第一象限內交于點D，連接AD，CD，請直接寫出拋物線C2的解析式和點D的坐標.

(3)已知拋物線C2的頂點為M,設P為拋物線C1對稱軸上一點，Q為直線y=2x+4上一點，是否存在以點M，Q，P，B為頂點的四邊形為平行四邊形?若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x+4，C（8，0）；

（2）y=x2+x-4，D（4，6）；

（3）（3，）或（3，）；

【解析】

（1）先求出直線y=2x+4與x軸、y軸交點坐標，待定系數法求拋物線解析式即可；

（2）根據兩拋物線關于原點對稱，將拋物線C1的解析式中的x和y分別換成-x和-y，整理后即為拋物線C2的解析式；再通過解方程組求點D的坐標；

（3）過B作BN∥y軸，過M作MN∥x軸與BN交于點N，分兩種情形分別求點P的坐標：①BM為平行四邊形的邊，②BM為平行四邊形的對角線．

（1）∵直線y=2x+4與y軸交于點A，與x軸交于點B，∴A（0，4），B（-2，0），

∵拋物線C1：y=-x2+bx+c過A，B兩點，

∴c=4，0=-×（-2）2-2b+4，解得b=

∴拋物線C1的解析式為：y=-x2+x+4

令y=0，得-x2+x+4=0，解得x1=-2，x2=8

∴C（8，0）；

（2）∵拋物線C2與C1恰好關于原點對稱，

∴拋物線C2的解析式為y=x2+x-4，

解方程組得：，，

∵點D在第一象限內，

∴D（4，6）；

（3）存在．

過B作BN∥y軸，過M作MN∥x軸與BN交于點N，

∵拋物線C2的解析式為y=x2+x-4= (x+3)2-，

∴頂點M（-3，-），

∴BN=，MN=1，

拋物線C1的對稱軸為：直線x=3，設P（3，m）

①以點M，Q，P，B為頂點的四邊形為平行四邊形，若MQ為對角線，則BM∥PQ，BM=PQ

∴Q（4，m+），

又∵Q為直線y=2x+4上一點，

∴m+=2×4+4，解得：m=

∴P（3，）；

②若BM為對角線，設P（3，m），Q（n，2n+4），

∵BM中點坐標為（-，）

∴，解得，

∴P（3，），

③若BQ為對角線，∵BM∥PQ，BM=PQ，∴Q（2，8），設P（3，m），

則m-=8+0，解得：m=，

∴P（3，）

綜上所述，存在以點M，Q，P，B為頂點的四邊形為平行四邊形，點P的坐標為P（3，）或P（3，）．