Question

（2013•天水）如圖1，已知拋物線y=ax²+bx（a≠0）經過A（3，0）、B（4，4）兩點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）將直線OB向下平移m個單位長度后，得到的直線與拋物線只有一個公共點D，求m的值及點D的坐標；
（3）如圖2，若點N在拋物線上，且∠NBO=∠ABO，則在（2）的條件下，求出所有滿足△POD∽△NOB的點P坐標（點P、O、D分別與點N、O、B對應）．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法求出二次函數解析式即可；
（2）根據已知條件可求出OB的解析式為y=x，則向下平移m個單位長度后的解析式為：y=x-m．由于拋物線與直線只有一個公共點，意味著聯立解析式后得到的一元二次方程，其根的判別式等于0，由此可求出m的值和D點坐標；
（3）綜合利用幾何變換和相似關系求解．
方法一：翻折變換，將△NOB沿x軸翻折；
方法二：旋轉變換，將△NOB繞原點順時針旋轉90°．
特別注意求出P點坐標之后，該點關于直線y=-x的對稱點也滿足題意，即滿足題意的P點有兩個，避免漏解．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx（a≠0）經過A（3，0）、B（4，4）
∴將A與B兩點坐標代入得：

9a+3b=0 16a+4b=4

，解得：

a=1 b=-3

，
∴拋物線的解析式是y=x²-3x．

（2）設直線OB的解析式為y=k₁x，由點B（4，4），
得：4=4k₁，解得：k₁=1
∴直線OB的解析式為y=x，
∴直線OB向下平移m個單位長度后的解析式為：y=x-m，
∵點D在拋物線y=x²-3x上，
∴可設D（x，x²-3x），
又∵點D在直線y=x-m上，
∴x²-3x=x-m，即x²-4x+m=0，
∵拋物線與直線只有一個公共點，
∴△=16-4m=0，
解得：m=4，
此時x₁=x₂=2，y=x²-3x=-2，
∴D點的坐標為（2，-2）．

（3）∵直線OB的解析式為y=x，且A（3，0），
∴點A關于直線OB的對稱點A′的坐標是（0，3），
根據軸對稱性質和三線合一性質得出∠A′BO=∠ABO，
設直線A′B的解析式為y=k₂x+3，過點（4，4），
∴4k₂+3=4，解得：k₂=

1

4

，
∴直線A′B的解析式是y=

1

4

x+3，
∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠ABO，
∴BA′和BN重合，
即點N在直線A′B上，
∴設點N（n，

1

4

n+3），又點N在拋物線y=x²-3x上，
∴

1

4

n+3=n²-3n，
解得：n₁=-

3

4

，n₂=4（不合題意，舍去）
∴N點的坐標為（-

3

4

，

45

16

）．

方法一：
如圖1，將△NOB沿x軸翻折，得到△N₁OB₁，
則N₁（-

3

4

，-

45

16

），B₁（4，-4），
∴O、D、B₁都在直線y=-x上．
∵△P₁OD∽△NOB，△NOB≌△N₁OB₁，
∴△P₁OD∽△N₁OB₁，
∴

OP1

ON1

=

OD

OB1

=

1

2

，
∴點P₁的坐標為（-

3

8

，-

45

32

）．
將△OP₁D沿直線y=-x翻折，可得另一個滿足條件的點P₂（

45

32

，

3

8

），
綜上所述，點P的坐標是（-

3

8

，-

45

32

）或（

45

32

，

3

8

）．

方法二：
如圖2，將△NOB繞原點順時針旋轉90°，得到△N₂OB₂，
則N₂（

45

16

，

3

4

），B₂（4，-4），
∴O、D、B₁都在直線y=-x上．
∵△P₁OD∽△NOB，△NOB≌△N₂OB₂，
∴△P₁OD∽△N₂OB₂，
∴

OP1

ON2

=

OD

OB2

=

1

2

，
∴點P₁的坐標為（

45

32

，

3

8

）．
將△OP₁D沿直線y=-x翻折，可得另一個滿足條件的點P₂（-

3

8

，-

45

32

），
綜上所述，點P的坐標是（-

3

8

，-

45

32

）或（

45

32

，

3

8

）．

點評：本題是基于二次函數的代數幾何綜合題，綜合考查了待定系數法求拋物線解析式、一次函數（直線）的平移、一元二次方程根的判別式、翻折變換、旋轉變換以及相似三角形等重要知識點．本題將初中階段重點代數、幾何知識熔于一爐，難度很大，對學生能力要求極高，具有良好的區分度，是一道非常好的中考壓軸題．