Question

【題目】如圖，O是正△ABC內一點，OA=3，OB=4，OC=5，將線段BO以點B為旋轉中心逆時針旋轉60°得到線段BO′，下列結論：①△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到；②點O與O′的距離為4；③∠AOB=150°；④S四邊形AOBO；⑤S△AOC+S△AOB=．其中正確的結論是（　　）

A.①②③⑤B.①②③④C.①②③④⑤D.①②③

Answer 1

【答案】A

【解析】

證明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到，故結論①正確；由△OBO′是等邊三角形，可知結論②正確；在△AOO′中，三邊長為3，4，5，這是一組勾股數，故△AOO′是直角三角形；進而求得∠AOB=150°，故結論③正確；S四邊形AOBO=S△AOO+S△OBO，可得結論④錯誤；如圖②，將△AOB繞點A逆時針旋轉60°，使得AB與AC重合，點O旋轉至O″點．利用旋轉變換構造等邊三角形與直角三角形，將S△AOC+S△AOB轉化為S△COO+S△AOO，計算可得結論⑤正確．

由題意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，∴∠1=∠3，

又∵OB=O′B，AB=BC，

∴△BO′A≌△BOC，又∵∠OBO′=60°，

∴△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉60°得到，

故結論①正確；

如圖①，連接OO′，

∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，

∴△OBO′是等邊三角形，

∴OO′=OB=4．

故結論②正確；

∵△BO′A≌△BOC，∴O′A=5．

在△AOO′中，三邊長為3，4，5，這是一組勾股數，

∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，

∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，

故結論③正確；

S四邊形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=，

故結論④錯誤；

如圖②所示，將△AOB繞點A逆時針旋轉60°，使得AB與AC重合，點O旋轉至O″點．

易知△AOO″是邊長為3的等邊三角形，△COO″是邊長為3、4、5的直角三角形，

則S△AOC+S△AOB=S四邊形AOCO″=S△COO″+S△AOO″=，

故結論⑤正確．

綜上所述，正確的結論為：①②③⑤．

故選A．