Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，D是AB邊上一點，圓O過D、B、C三點，∠DOC=2∠ACD=90°．

（1）求證：直線AC是圓O的切線；
（2）如果∠ACB=75°，圓O的半徑為2，求BD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵OD=OC，∠DOC=90°，

∴∠ODC=∠OCD=45°．

∵∠DOC=2∠ACD=90°，

∴∠ACD=45°．

∴∠ACD+∠OCD=∠OCA=90°．

∵點C在圓O上，

∴直線AC是圓O的切線

（2）解：方法1：∵OD=OC=2，∠DOC=90°，

∴CD=2 ．

∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，

∴∠BCD=30°，

作DE⊥BC于點E，

則∠DEC=90°，

∴DE=DCsin30°= ．

∵∠B=45°，

∴DB=2．

方法2：連接BO

∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，

∴∠BCD=30°，∴∠BOD=60°

∵OD=OB=2

∴△BOD是等邊三角形

∴BD=OD=2．

【解析】（1）由題意可知△DOC為等腰直角三角形，故此可得到∠DCO=45°，然后依據題意可求得∠ACD=45°，從而得到∠OCA=90°；
（2）連接OB，先求得∠BCO=15°，故此可得到∠BCD=30，然后依據圓周角定理可得到∠DOB=60，從而可證明△BOD為等邊三角形.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解切線的判定定理的相關知識，掌握切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．