Question

【題目】在平面直角坐標系中，點坐標為，以原點為頂點的四邊形是平行四邊形，將邊沿軸翻折得到線段，連結交線段于點.

（1）如圖1，當點在軸上，且其坐標為.

①求所在直線的函數表達式；

②求證：點為線段的中點；

（2）如圖2，當時，，的延長線相交于點，試求的值.（直接寫出答案，不必說明理由）

Answer 1

【答案】（1）①；②詳見解析；（2）

【解析】

（1）①根據四邊形是平行四邊形，得，根據 ，，得.根據翻折得到線段，得.設直線的函數表達式為，利用待定系數法確定函數關系式即可求解；

②根據平行四邊形的性質求證，即可得點為線段的中點.

（2）連接交軸于點.證明為的中點，得出點為線段的中點，過點作交于點，根據平行線分線段成比例定理得到，還可得到等腰直角，故，求得.

解：（1）①∵四邊形是平行四邊形，

∴，.

又∵點落在軸上，

∴軸，∴軸.

∵，，∴.

又∵邊沿軸翻折得到線段，

∴.

設直線的函數表達式為，

∴，解得.

∴所在直線的函數表達式為.

②證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，，

∴.

∵邊沿軸翻折得到線段，

∴，∴.

又∵，∴，

∴，即點為線段的中點.

（2）.

連接交軸于點.∴為的中點；

∴由（1）可得出點為線段的中點，

∵邊沿軸翻折得到線段且，

∴，.

∵，∴.

過點作交于點，可得，得到等腰直角.

∴.

∴.