Question

【題目】已知，點P是正方形ABCD內的一點，連PA、PB、PC.

（1）將△PAB繞點B順時針旋轉90°到△P′CB的位置（如圖1）.

①設AB的長為a，PB的長為b（b<a），求△PAB旋轉到△P′CB的過程中邊PA所掃過區域（圖1中陰影部分）的面積；

②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的長.

（2）如圖2，若PA2+PC2=2PB2，請說明點P必在對角線AC上.

Answer 1

【答案】（1）①S陰影=

②連結PP′，證△PBP′為等腰直角三角形，從而PC=6;

1. 將△PAB繞點B順時針旋轉90°到△P′CB的位置，由勾股逆定理證出∠P′CP=90°，
2. 再證∠BPC+∠APB=180°，即點P在對角線AC上.

【解析】（1）△PAB旋轉到△P′CB的過程中邊PA所掃過區域（圖1中陰影部分）的面積實際是大扇形OAC與小扇形BPP′的面積差，且這兩個扇形的圓心角同為90度；

（2）連接PP′，證△PBP′為等腰直角三角形，從而可在Rt△PP′C中，用勾股定理求得PC=6；

（3）將△PAB繞點B順時針旋轉90°到△P′CB的位置，由勾股逆定理證出∠P′CP=90°，再證∠BPC+∠APB=180°，即點P在對角線AC上．