Question

【題目】如圖，O是△ABC的內心，BO的延長線和△ABC的外接圓相交于D，連接DC、DA、OA、OC，四邊形OADC為平行四邊形。

（1）求證：△BOC≌△CDA

（2）若AB=2，求陰影部分的面積。

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）如圖，利用△ABC的內心和同弧所對的圓周角相等可證得∠1=∠3，利用平行線的性質可證∠4=∠6，再根據AAS即可判定△BOC≌△CDA；（2）先判定△ABC是等邊三角形，即可得O是△ABC的內心也是外心，所以OA=OB=OC.在Rt△OCE中,CE=1，∠OCE=30，可求得OA=OB=OC=，根據，求出扇形AOB和△AOB的面積即可得求得陰影部分的面積.

試題解析：

解：（1）證明：∵O是△ABC的內心，

∴∠2=∠3，∠5=∠6，

∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，

由AD∥CO,AD=CO，∴∠4=∠5，∴∠4=∠6，

∴△BOC≌△CDA（AAS）

由（1）得，BC=AC,∠3=∠4=∠6，

∴∠ABC=∠ACB

∴AB=AC

∴△ABC是等邊三角形

∴O是△ABC的內心也是外心

∴OA=OB=OC

設E為BD與AC的交點，BE垂直平分AC.

在Rt△OCE中，CE=AC=AB=1，∠OCE=30，

∴OA=OB=OC=.

∵∠AOC=120，

∴.