Question

【題目】如圖，已知以E(3，0)為圓心，5為半徑的☉E與x軸交于A，B兩點，與y軸交于C點，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經過A，B，C三點，頂點為F.

(1)求A，B，C三點的坐標；

(2)求拋物線的解析式及頂點F的坐標；

(3)已知M為拋物線上的一動點(不與C點重合)，試探究：①若以A，B，M為頂點的三角形面積與△ABC的面積相等，求所有符合條件的點M的坐標；

②若探究①中的M點位于第四象限，連接M點與拋物線頂點F，試判斷直線MF與☉E的位置關系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）A(-2，0)，B(8，0)，C(0，-4)；（2）拋物線的解析式為y=x2-x-4，F；(3)①所點M的坐標為(6，-4)，(+3，4)，(-+3，4)；②若M點位于第四象限，則M點即為M1點，此時直線MF和☉E相切，理由見解析.

【解析】分析：（1）由題意可直接得到點A、B的坐標，連接CE，在Rt△OCE中，利用勾股定理求出OC的長，則得到點C的坐標；
（2）已知點A、B、C的坐標，利用交點式與待定系數法求出拋物線的解析式，由解析式得到頂點F的坐標；
（3）①△ABC中，底邊AB上的高OC=4，若△ABC與△ABM面積相等，則拋物線上的點M須滿足條件：|yM|=4．因此解方程yM=4和yM=-4，可求得點M的坐標；
②如解答圖，作輔助線，可求得EM=5，因此點M在 E上；再利用勾股定理求出MF的長度，則利用勾股定理的逆定理可判定△EMF為直角三角形，∠EMF=90°，所以直線MF與 E相切．

詳解：(1)由題圖可得點A的橫坐標為3-5=-2，點B的橫坐標為3+5=8，

連接CE，則CE=5，又OE=3，

∴OC==4，

∴A(-2，0)，B(8，0)，C(0，-4).

(2)把(-2，0)，(8，0)，(0，-4)代入y=ax2+bx+c，得.

解得

∴拋物線的解析式為y=x2-x-4.

∵EF∥y軸，∴點F的橫坐標為3.

把x=3代入y=x2-x-4，得y=-，

∴F.

(3)①如圖所示，連接AC，BM1，BC，

易知=S△ABC，△ABM1與△ABC同底等高，

點C與點M1關于直線x=3對稱，

M1(6，-4).

把y=4代入y=x2-x-4，得x2-x-4=4，

解得x1=+3，x2=-+3，

∴M2(+3，4)，M3(-+3，4).

∴所有符合條件的點M的坐標為(6，-4)，(+3，4)，(-+3，4).

②若M點位于第四象限，則M點即為M1點，此時直線MF和☉E相切.

理由如下：M1(6，-4)，圓心E(3，0)，點F，

連接M1E.

利用勾股定理得M1E=5，M1F=，又EF=，

∴M1E2+M1F2=EF2，即∠FM1E=90°，

∴M1E⊥M1F.

∵M1E是☉E的半徑，

∴直線M1F和☉E相切，

即當M點位于第四象限時，直線MF與☉E相切.