Question

（2013•河池）已知：拋物線C₁：y=x²．如圖（1），平移拋物線C₁得到拋物線C₂，C₂經過C₁的頂點O和A（2，0），C₂的對稱軸分別交C₁、C₂于點B、D．
（1）求拋物線C₂的解析式；
（2）探究四邊形ODAB的形狀并證明你的結論；
（3）如圖（2），將拋物線C₂向m個單位下平移（m＞0）得拋物線C₃，C₃的頂點為G，與y軸交于M．點N是M關于x軸的對稱點，點P（-

4

3

m，

1

3

m）在直線MG上．問：當m為何值時，在拋物線C₃上存在點Q，使得以M、N、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形？

Answer 1

分析：（1）設設拋物線C₂的解析式為y=x²+bx，把A（2，0）代入求出b的值即可；
（2）四邊形ODAB的形狀為正方形，求出拋物線C₂的頂點坐標D為（1，-1）和B的坐標為（1，1）進而證明四邊形ODAB為菱形，再證明是正方形即可；
（3）當M、N、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形時有兩種情況：①若MN是平行四邊形的一條邊②若MN是平行四邊形的一條對角線，在分別討論求出滿足題意的m值即可．

解答：解：（1）∵拋物線C₂經過C₁的頂點O，
∴設拋物線C₂的解析式為y=x²+bx，
∵C₂經過A（2，0），
∴4+2b=0，
解得：b=-2，
∴求拋物線C₂的解析式為y=x²-2x；

（2）∵y=x²-2x=（x-1）²-1，
∴拋物線C₂的頂點坐標D為（1，-1），
當x=1時，y=1，
∴點B的坐標為（1，1），
∴根據勾股定理得：OB=AB=OD=AD=

2

，
∴四邊形ODAB是菱形，
又∵OA=BD=2，
∴四邊形ODAB是正方形；

（3）∵拋物線C₂向m個單位下平移（m＞0）得拋物線C₃，
∴拋物線C₃的解析式為y=（x-1）²-1-m，
在y=（x-1）²-1-m中，令x=0，得y=-m，
∴M（0，-m），
∵點N是M關于x軸的對稱點，
∴N（0，m），
∴MN=2m，
當M、N、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形時有兩種情況：
①若MN是平行四邊形的一條邊，
由MN=PQ=2m和點P（-

4

3

m，

1

3

m）得Q（-

4

3

m，

7

3

m），
∵點Q在拋物線C₃上，
∴

7

3

m=（-

4

3

m-1）²-1-m，
解得：m=

3

8

或m=0（舍去），
②若MN是平行四邊形的一條對角線，由平行四邊形的中心對稱得Q（

4

3

m，-

1

3

m）
∵點Q在拋物線C₃上，
∴-

1

3

m=（

4

3

m-1）²-1-m，解得：m=

15

8

或m=0（舍去）
綜上所述，當m=

3

8

或

15

8

時，
在拋物線C₃上存在點Q，使得以M、N、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形．

點評：本題考查了二次函數的平移、二次函數的頂點坐標的求法、平行四邊形的判定和性質以及菱形、正方形的判定和性質，用到的知識點還有一元二次方程的解法以及分類討論的數學思想，題目的綜合性很強，難度很大．