Question

（2013•河池）如圖（1），在Rt△ABC，∠ACB=90°，分別以AB、BC為一邊向外作正方形ABFG、BCED，連結AD、CF，AD與CF交于點M．
（1）求證：△ABD≌△FBC；
（2）如圖（2），已知AD=6，求四邊形AFDC的面積；
（3）在△ABC中，設BC=a，AC=b，AB=c，當∠ACB≠90°時，c²≠a²+b²．在任意△ABC中，c²=a²+b²+k．就a=3，b=2的情形，探究k的取值范圍（只需寫出你得到的結論即可）．

Answer 1

分析：（1）由正方形ABFG與BCFD，得到兩對邊相等，一對直角相等，根據圖形利用等式的性質得到一對角相等，利用SAS即可得到三角形全等；
（2）連接FD，由（1）的三角形全等，得到AD=FC，∠BAD=∠BFC，利用等式的性質及垂直定義得到AD與CF垂直，四邊形AFDC面積=三角形ACD面積+三角形ACF面積+三角形DMF面積-三角形ACM面積，求出即可；
（3）根據a，b及c為三角形三邊長，利用兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊列出關于c的不等式，將a與b的值代入求出c的范圍，進而確定出c²的范圍，即a²+b²+k的范圍，即可求出k的范圍．

解答：解：（1）∵正方形ABFG、BCED，
∴AB=FB，CB=DB，∠ABF=∠CBD=90°，
∴∠ABF+∠ABC=∠CBD+∠ABC，
即∠ABD=∠CBF，
在△ABD和△FBC中，

AB=FB ∠ABD=∠CBF DB=CB

，
∴△ABD≌△FBC（SAS）；

（2）連接FD，設CF與AB交于點N，
∵△ABD≌△FBC，
∴AD=FC，∠BAD=∠BFC，
∴∠AMF=180°-∠BAD-∠CNA=180°-（∠BFC+∠BNF）=180°-90°=90°，
∴AD⊥CF，
∵AD=6，
∴FC=AD=6，
∴S_{四邊形AFDC}=S_△ACD+S_△ACF+S_△DMF-S_△ACM，
=

1

2

AD•CM+

1

2

CF•AM+

1

2

DM•FM-

1

2

AM•CM，
=3CM+3AM+

1

2

（6-AM）（6-CM）-

1

2

AM•CM，
=18；

（3）∵在△ABC中，設BC=a=3，AC=b=2，AB=c，
∴a-b＜c＜a+b，即1＜c＜5，
∴1＜c²＜25，即1＜a²+b²+k=13+k＜25，
解得：-12＜k＜12．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，三角形、四邊形的面積，以及三角形的三邊關系，屬于多知識點的四邊形綜合題．