Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為(－1，0)，(3，0)，現同時將點A，B分別向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到A，B的對應點C，D，連接AC，BD，CD.

(1)寫出點C，D的坐標并求出四邊形ABDC的面積；

(2)在x軸上是否存在一點F，使得三角形DFC的面積是三角形DFB面積的2倍，若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)如圖2，點P是直線BD上的一個動點，連接PC，PO，當點P在直線BD上運動時，請直接寫出∠OPC與∠PCD，∠POB的數量關系.

Answer 1

【答案】(1)C(0，2)，D(4，2).8；（2）F(1，0)或(5，0)；（3）當點P在線段BD上運動時：∠OPC＝∠PCD＋∠POB；當點P在BD延長線上運動時：∠OPC＝∠POB－∠PCD；當點P在DB延長線上運動時：∠OPC＝∠PCD－∠POB.

【解析】試題分析：（1）根據點平移的規律易得點C的坐標為（0，2），點D的坐標為（4，2）；四邊形ABDC的面積=2×（3+1）=8；
（2）存在．設點P到AB的距離為h，則S△PAB=×AB×h，根據S△PAB=S四邊形ABDC，列方程求h的值，確定P點坐標．

（3）分類討論：當點P在線段BD上，作PM∥AB，根據平行線的性質由MP∥AB得∠2=∠POB，由CD∥AB得到CD∥MF，則∠1=∠PCD，所以∠OPC=∠POB+∠PCD；同樣得到當點P在線段DB的延長線上，∠OPC=∠PCD-∠POB；當點P在線段BD的延長線上，得到∠OPC=∠POB-∠PCD．

試題解析：（1）依題意，得C（0，2），D（4，2），
∴S四邊形ABDC=AB×OC=4×2=8；
（2）在y軸上是否存在一點P，使S△PAB=S四邊形ABDC．理由如下：
設點P到AB的距離為h，
S△PAB=×AB×h=2h，
由S△PAB=S四邊形ABDC，得2h=8，
解得h=4，
∴P（0，4）或（0，-4）．
（3）當點P在線段BD上，作PM∥AB，如圖1，
∵MP∥AB，
∴∠2=∠POB，
∵CD∥AB，

∴CD∥MP，
∴∠1=∠PCD，
∴∠OPC=∠1+∠2=∠POB+∠PCD；
當點P在線段DB的延長線上，作PN∥AB，如圖2，
∵PN∥AB，
∴∠NPO=∠POB，
∵CD∥AB，
∴CD∥PN，
∴∠NPC=∠FCD，
∴∠OPC=∠NPC-∠NPO=∠FCD-∠POB；
同樣得到當點P在線段BD的延長線上，得到∠OPC=∠POB-∠PCD．