Question

【題目】(2016廣東省梅州市第22題)

如圖，平行四邊形ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分別是AB、CD上的點，且BE=DF，連接EF交BD于O．

（1）求證：BO=DO；

（2）若EF⊥AB，延長EF交AD的延長線于G，當FG=1時，求AE的長．

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、AE=3.

【解析】

試題分析：(1)、根據平行四邊形的性質得出∠OBE =∠ODF，從而得出△OBE和△ODF全等，從而得出答案；(2)、根據EF⊥AB，AB ∥DC得出∠GEA=∠GFD=90°，根據∠A的度數得出AE=GE，根據垂直得出OF=FG=1，根據三角形全等得出OE=OF=1，從而根據GE=OE+OF+FG得出答案.

試題解析：(1)、∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴DC∥AB ∴∠OBE =∠ODF．

在△OBE與△ODF中， ∵ ∴△OBE≌△ODF（AAS） ∴BO=DO

(2)、∵EF⊥AB，AB ∥DC， ∴∠GEA=∠GFD=90° ∵∠A=45°， ∴∠G=∠A=45°

∴AE=GE ∵BD⊥AD， ∴∠ADB=∠GDO=90° ∴∠GOD=∠G=45° ∴DG=DO

∴OF=FG= 1 由（1）可知，OE=OF=1 ∴GE=OE+OF+FG=3 ∴AE=3