Question

【題目】如圖①，已知拋物線C1：y=a（x+1）2﹣4的頂點為C，與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左邊），點B的橫坐標是1．

（1）求點C的坐標及a 的值；

（2）如圖②，拋物線C2與C1關于x軸對稱，將拋物線C2向右平移4個單位，得到拋物線C3．C3與x軸交于點B、E，點P是直線CE上方拋物線C3上的一個動點，過點P作y軸的平行線，交CE于點F．

①求線段PF長的最大值；

②若PE=EF，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）a=1；頂點C為（﹣1，﹣4）．（2）①當x=時，PF有最大值為；②P（，）．

【解析】

試題分析：（1）根據二次函數的性質即可直接求得頂點C的坐標，把B的坐標代入函數解析式即可求得a的值；

（2）①C2的頂點坐標是C關于x軸的對稱點，且二次項系數互為相反數，據此即可求得C2的解析式，然后根據平移的性質求得C3的解析式．利用待定系數法求得直線CE的解析式，則PF的長即可利用x表示出來，然后根據二次函數的性質求得PF的最大值；

②PE=EF則P和F關于x軸對稱，即縱坐標互為相反數，據此即可列方程求解．

解：（1）頂點C為（﹣1，﹣4）．

∵點B（1，0）在拋物線C1上，∴0=a（1+1）2﹣4，解得，a=1；

（2）①∵C2與C1關于x軸對稱，

∴拋物線C2的表達式為y=﹣（x+1）2+4，

拋物線C3由C2平移得到，

∴拋物線C3為y=﹣（x﹣3）2+4=﹣x2+6x﹣5，

∴E（5，0），

設直線CE的解析式為：y=kx+b，

則，解得，

∴直線BC的解析式為y=x﹣，

設P（x，﹣x2+6x﹣5），則F（x，x﹣），

∴PF=（﹣x2+6x﹣5）﹣（x﹣）=﹣x2+x﹣=﹣（x﹣）2+，

∴當x=時，PF有最大值為；

②若PE=EF，∵PF⊥x軸，

∴x軸平分PF，

∴﹣x2+6x﹣5=﹣x+，

解得x1=，x2=5（舍去）

∴P（，）．