Question

如圖，在半徑為5的⊙O中，點A、B在⊙O上，∠AOB=90°，點C是弧AB上的一個動點，AC與OB的延長線相交于點D，設AC=x，BD=y．
（1）求y關于x的函數解析式，并寫出它的定義域；
（2）如果⊙O₁與⊙O相交于點A、C，且⊙O₁與⊙O的圓心距為2，當BD=OB時，求⊙O₁的半徑；
（3）是否存在點C，使得△DCB∽△DOC？如果存在，請證明；如果不存在，請簡要說明理由．

Answer 1

解：（1）過⊙O的圓心作OE⊥AC，垂足為E，
∴AE=，OE=．
∵∠DEO=∠AOB=90°，∴∠D=90°-∠EOD=∠AOE，∴△ODE∽△AOE．
∴，∵OD=y+5，∴．
∴y關于x的函數解析式為：．
定義域為：．

（2）當BD=OB時，，．
∴x=6．
∴AE=，OE=．
當點O₁在線段OE上時，O₁E=OE-OO₁=2，．
當點O₁在線段EO的延長線上時，O₁E=OE+OO₁=6，．
⊙O₁的半徑為或．

（3）存在，當點C為的中點時，△DCB∽△DOC．
證明如下：∵當點C為的中點時，∠BOC=∠AOC=∠AOB=45°，
又∵OA=OC=OB，∴∠OCA=∠OCB=，
∴∠DCB=180°-∠OCA-∠OCB=45°．
∴∠DCB=∠BOC．又∵∠D=∠D，∴△DCB∽△DOC．
∴存在點C，使得△DCB∽△DOC．

分析：（1）過⊙O的圓心作OE⊥AC，垂足為E．通過證明△ODE∽△AOE求得，然后將相關線段的長度代入求得y關于x的函數解析式，再由函數的性質求其定義域；
（2）當BD=OB時，根據（1）的函數關系式求得y=，x=6．分兩種情況來解答O₁A的值①當點O₁在線段OE上時，O₁E=OE-OO₁=2；②當點O₁在線段EO的延長線上時，O₁E=OE+OO₁=6；
（3）當點C為AB的中點時，∠BOC=∠AOC=∠AOB=45°，∠OCA=∠OCB=，然后由三角形的內角和定理求得
∠DCB=45°，由等量代換求得∠DCB=∠BOC．根據相似三角形的判定定理AA證明△DCB∽△DOC．
點評：本題主要考查了圓與圓的位置關系、勾股定理．此題很復雜，解答此題的關鍵是作出輔助線OE⊥AC，利用相似三角形的判定定理及性質解答，解答（2）時注意分兩種情況討論，不要漏解．