Question

【題目】定義：若拋物線的頂點和與x軸的兩個交點所組成的三角形為等邊三角形時．則稱此拋物線為正拋物線．

概念理解：

（1）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，點D是BC的中點．試證明：以點A為頂點，且與x軸交于D、C兩點的拋物線是正拋物線；

問題探究：

（2）已知一條拋物線經過x軸的兩點E、F（E在F的左邊），E（1，0）且EF＝2若此條拋物線為正拋物線，求這條拋物線的解析式；

應用拓展：

（3）將拋物線y1＝﹣x2+2x+9向下平移9個單位后得新的拋物線y2．拋物線y2的頂點為P，與x軸的兩個交點分別為M、N（M在N左側），把△PMN沿x軸正半軸無滑動翻滾，當邊PN與x軸重合時記為第1次翻滾，當邊PM與x軸重合時記為第2次翻滾，依此類推…，請求出當第2019次翻滾后拋物線y2的頂點P的對應點坐標．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）y＝或y＝；（3）當第2019次翻滾后拋物線y2的頂點P的對應點坐標為（4039，3）．

【解析】

（1）由Rt△ABC中AD是斜邊BC的中線可得AD＝CD，由拋物線對稱性可得AD＝AC，即證得△ACD是等邊三角形．

（2）設拋物線頂點為G，根據正拋物線定義得△EFG是等邊三角形，又易求E、F坐標，即能求G點坐標．由于不確定點G縱坐標的正負號，故需分類討論，再利用頂點式求拋物線解析式．

（3）根據題意求出拋物線y2的解析式，并按題意求出P、M、N的坐標，得到等邊△PMN，所以當△PMN翻滾時，每3次為一個周期，點P回到x軸上方，且橫坐標每多一個周期即加6，其規律為當翻滾次數n能被3整除時，橫坐標為： +n×2＝（2n+1）．2019能被3整除，代入即能求此時點P坐標．

解：（1）證明：∠BAC＝90°，點D是BC的中點

∴AD＝BD＝CD＝BC

∵拋物線以A為頂點與x軸交于D、C兩點

∴AD＝AC

∴AD＝AC＝CD

∴△ACD是等邊三角形

∴以A為頂點與x軸交于D、C兩點的拋物線是正拋物線．

（2）∵E（1，0）且EF＝2，點F在x軸上且E在F的左邊

∴F（3，0）

∵一條經過x軸的兩點E、F的拋物線為正拋物線，設頂點為G

∴△EFG是等邊三角形

∴xG＝

①當G（2，）時，設拋物線解析式為y＝a（x﹣2）2+

把點E（1，0）代入得：a+＝0

∴a＝﹣

∴y＝﹣（x﹣2）2+

②當G（2，﹣）時，設拋物線解析式為y＝a（x﹣2）2﹣

把點E（1，0）代入得：a﹣＝0

∴a＝

∴y＝（x﹣2）2﹣

綜上所述，這條拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣2）2+或y＝（x﹣2）2﹣

（3）∵拋物線y1＝﹣x2+2x+9＝﹣（x﹣）2+12

∴y1向下平移9個單位后得拋物線y2＝﹣（x﹣）2+3

∴P（，3），M（0，0），N（2，0）

∴PM＝MN＝PN＝2

∴△PMN是等邊三角形

∴第一次翻滾頂點P的坐標變為P1（4，0），第二次翻滾得P2與P1相同，第三次翻滾得P3（7，3）

即每翻滾3次為一個周期，當翻滾次數n能被3整除時，點P縱坐標為3，橫坐標為： +n×2＝（2n+1）

∵2019÷3＝673

∴（2×2019+1）×＝4039

∴當第2019次翻滾后拋物線y2的頂點P的對應點坐標為（4039，3）．