Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過點C的直線MN∥AB ， D為AB邊上一點，過點D作DE⊥BC ， 交直線MN于E ， 垂足為F ， 連CD、BE ．

（1）求證：CE＝AD；
（2）當D在AB中點時，四邊形BECD是什么特殊四邊形？說明你的理由；
（3）若D為AB中點，則當∠A的大小滿足什么條件時，四邊形BECD是正方形？請說明你的理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解答：證明：∵DE⊥BC，

∴∠DFB＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACB=＝∠DFB，

∴AC∥DE，

∵MN∥AB，即CE∥AD，

∴四邊形ADEC是平行四邊形，

∴CE＝AD．

（2）

解答：解：四邊形BECD是菱形，

理由是：∵D為AB中點，

∴AD＝BD，

∵CE＝AD，

∴BD＝CE，

∵BD∥CE，

∴四邊形BECD是平行四邊形，

∵∠ACB＝90°，D為AB中點，

∴CD＝BD，

∴四邊形BECD是菱形．

（3）

解答：解：當∠A＝45°時，四邊形BECD是正方形，

理由是：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，

∴∠ABC＝∠A＝45°，

∴AC＝BC，

∵D為BA中點，

∴CD⊥AB，

∴∠CDB＝90°，

∵四邊形BECD是菱形，

∴四邊形BECD是正方形，即當∠A＝45°時，四邊形BECD是正方形．

【解析】（1）先求出四邊形ADEC是平行四邊形，根據平行四邊形的性質推出即可；（2）求出四邊形BECD是平行四邊形，求出CD＝BD ， 根據菱形的判定推出即可；（3）求出∠CDB＝90°，再根據正方形的判定推出即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解平行四邊形的判定與性質(若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積)，還要掌握菱形的判定方法(任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形)的相關知識才是答題的關鍵．