Question

【題目】用一條直線分割一個三角形，如果能分割出等腰三角形，那么就稱這條直線為該三角形的一條等腰分割線．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6．

（1）如圖（1），若 O 為 AB 的中點，則直線 OC_____△ABC 的等腰分割線（填“是”或“不是”）

（2）如圖（2）已知△ABC 的一條等腰分割線 BP 交邊 AC 于點 P，且 PB＝PA，請求出 CP 的長度．

（3）如圖（3），在△ABC 中，點 Q 是邊 AB 上的一點，如果直線 CQ 是△ABC 的等腰分割線，求線段BQ 的長度等于 ______．（直接寫出答案）．

Answer 1

【答案】（1）是；（2） ；（3）5 或 2 或 6 或

【解析】

（1）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得結論；

（2）設 CP＝x，則 PA＝PB＝8﹣x，根據勾股定理列方程得：62+x2＝(8﹣x)2，求解即可；

（3）分情況進行討論：

①當△ACQ 是等腰三角形時，分三種情況討論；

②當△BCQ 是等腰三角形時，同理分三種情況討論．

解：（1）是，如圖（1），

∵∠ACB＝90°，O 為 AB 中點，

∴在Rt△ACB中，OC＝AB＝AO＝BO，

∴可得到等腰△AOC和等腰△BOC，

∴直線OC是△ABC的等腰分割線，

故答案為：是；

（2）由題可知PA＝PB，BC＝6，

設CP＝x，則PA＝PB＝8﹣x，

在Rt△BPC 中，BC2+PC2＝PB2，

∴62+x2＝（8﹣x）2，

解得：x＝，即：CP＝；

（3）BQ＝2或5或或6，

①若△ACQ 為等腰三角形，

如圖（3），當 AC＝AQ 時，AQ＝8，BQ＝AB﹣AQ＝2，

如圖（4），當QC＝QA 時，Q為AB中點，BQ＝AB＝5，

當CA＝CQ 時，Q不在線段AB上，舍去；

②若△BCQ 為等腰三角形．

如圖（5），當CQ＝CB時，過C作CM⊥AB于M，此時M為BQ的中點，

∵S△ABC＝BCAC＝ABCM，

∴×6×8＝×10CM

解得：CM＝．

在Rt△CMB中，M＝＝，

∴BQ＝2QM＝，

如圖（6），當BC＝BQ時，BQ＝BC＝6．

如圖（7），當QC＝QB時，Q為AB中點，BQ＝AB＝5．

綜上，BQ＝2或5或或6．