Question

【題目】如果一個圓上所有的點都在一個角的內部或邊上，那么稱這個圓為該角的角內圓．特別地，當這個圓與角的至少一邊相切時，稱這個圓為該角的角內相切圓．在平面直角坐標系xOy中，點E，F分別在x軸的正半軸和y軸的正半軸上．

（1）分別以點A（1，0），B（1，1），C（3，2）為圓心，1為半徑作圓，得到⊙A，⊙B和⊙C，其中是∠EOF的角內圓的是　 　；

（2）如果以點D（t，2）為圓心，以1為半徑的⊙D為∠EOF的角內圓，且與直線y＝x有公共點，求t的取值范圍；

（3）點M在第一象限內，如果存在一個半徑為1且過點P（2，2）的圓為∠EMO的角內相切圓，直接寫出∠EOM的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）⊙B，⊙C；（2）1≤t≤2+；（3）60°≤∠EOM＜90°

【解析】

（1）畫出圖象，根據角內相切圓的定義判斷即可．

（2）求出兩種特殊位置時t的值即可判斷．

（3）如圖3中，連接OP，OM．首先求出∠POE，根據圖象可知當射線OM在∠POF的內部（包括射線OP，不包括射線OF）時，存在一個半徑為1且過點P（2，2）的圓為∠EMO的角內相切圓．

（1）如圖1中，觀察圖象可知，⊙B和⊙C，其中是∠EOF的角內圓．

故答案為：⊙B，⊙C．

（2）解：如圖，

當⊙D1與y軸相切時，設切點為M，則MD1＝1，可得t1＝1．

當⊙D2與y＝x相切時，設切點為H，連接HD2，設直線y＝x與直線y＝2交于點K，則△HKD2，△MOK都是等腰直角三角形，

∵KH＝HD2＝1，

∴KD2＝，

∵OM＝MK＝2，

∴MD2＝MK+KD2＝2+

可得t2＝2+，

觀察圖象可知，滿足條件的t的取值范圍是1≤t≤2+．

（3）如圖3中，連接OP，OM．

∵P（2，2），

∴tan∠POE＝＝，

∴∠POE＝60°，

觀察圖象可知當射線OM在∠POF的內部（包括射線OP，不包括射線OF）時，存在一個半徑為1且過點P（2，2）的圓為∠EMO的角內相切圓，

∴60°≤∠EOM＜90°．