Question

已知二次函數y=x²-x+c
（1）若點A（-1，n）、B（2，2n-1）在二次函數y=x²-x+c的圖象上，求此二次函數的最小值．
（2）若點D（x₁、y₁）、E（x₂、y₂）在拋物線y=x²-x+c上，且D、E兩點關于原點成中心對稱，求直線DE的函數關系式．
（3）若點P（m，m）（m＞0）在拋物線y=x²-x+c上，連接PO，當2

2

≤PO≤

2

+2時，試判斷（2）中的直線DE與拋物線y=x²-x+c+

8

3

的交點個數，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據點A（-1，n）、B（2，2n-1）在二次函數y=x²-x+c的圖象上，直接代入函數解析式求出即可；
（2）根據點D、E關于原點成中心對稱，得出x₂=-x₁，y₂=-y₁，進而求出2y₁=-2x₁，y₁=-x₁，即可得出k的值；
（3）根據點P（m，m）（m＞0），PO=

2

m，得出2

2

≤

2

m≤

2

+2，進而得出-1≤c≤0，再分別分析當-c-

3

8

=0時，當-c-

3

8

＞0時，當-c-

3

8

＜0時，得出方程的根的情況．

解答：解：（1）由題意得

n=2+c 2n-1=2+c.

，
解得

n=1 c=-1.

，
∴有y=x²-x-1，
=（x-

1

2

）²-

5

4

．
∴二次函數y=x²-x-1的最小值是-

5

4

；

（2）解法1：
∵點D、E關于原點成中心對稱，
∴x₂=-x₁，y₂=-y₁．
∴

y1=x12-x1+c -y1=x12+x1+c.

，
∴2y₁=-2x₁，y₁=-x₁．
設直線DE：y=kx．
有-x₁=kx₁．
由題意，存在x₁≠x₂．
∴存在x₁，使x₁≠0．
∴k=-1．
∴直線DE：y=-x．
解法2：設直線DE：y=kx．
則根據題意有kx=x²-x+c，即x²-（k+1）x+c=0．
∴方程x²-（k+1）x+c=0有實數根．
∵x₁+x₂=0，
∴k+1=0．
∴k=-1．
∴直線DE：y=-x；

（3）∵點P（m，m）（m＞0），
∴PO=

2

m．
∴2

2

≤

2

m≤

2

+2．
∴2≤m≤1+

2

．
∵點P（m，m）（m＞0）在二次函數y=x²-x+c的圖象上，
∴m=m²-m+c，即c=-m²+2m．c是關于m的二次函數
∵此拋物線開口向下，且對稱軸m=1，
∴當2≤m≤1+

2

時，c隨著m的增大而減小
∴-1≤c≤0．
對于方程組

y=-x y=x2-x+c+ 3 8 .

消去y，則有x²+c+

3

8

=0．即x²=-c-

3

8

．
①當-c-

3

8

=0時，即c=-

3

8

時，方程x²=-c-

3

8

有兩個相等的實數根，
即直線y=-x與拋物線y=x²-x+c+

3

8

有唯一交點．
②當-c-

3

8

＞0時，即c＜-

3

8

時，即-1≤c＜-

3

8

時，
方程x²=-c-

3

8

有兩個不等實數根，
即直線y=-x與拋物線y=x²-x+c+

3

8

有兩個不同的交點．
③當-c-

3

8

＜0時，即c＞-

3

8

時，即-

3

8

＜c≤0時，
方程x²=-c-

3

8

沒有實數根，
即直線y=-x與拋物線y=x²-x+c+

3

8

沒有交點．

點評：此題主要考查了二次函數解析式的確定、函數圖象交點的求法等知識點．主要考查學生數形結合的數學思想方法，以及分類討論思想的應用．