Question

【題目】四邊形 OABC 在圖 1 中的直角坐標系中，且OC在 y 軸上，OA∥BC，A、B兩點的坐標分別為 A（18，0），B（12，8），動點 P、Q分別從 O、B兩點出發，點 P以每秒2個單位的速度沿 OA 向終點 A 運動，點 Q 以每秒1個單位的速度沿BC向 C運動，當點 P停止運動時，點 Q 同時停止運動．動點 P、Q 運動時間為 t（單位：秒）．

（1）當 t 為何值時，四邊形 PABQ 是平行四邊形，請寫出推理過程；

（2）如圖 2，線段 OB、PQ 相交于點 D，過點 D 作 DE∥OA，交 AB 于點 E，射線 QE 交 x 軸于點 F，PF=AO．當 t 為何值時，△PQF 是等腰三角形？請寫出推理過程；

（3）如圖 3，過 B 作 BG⊥OA 于點 G，過點 A 作 AT⊥x 軸于點 A，延長 CB 交 AT于點 T．將點 G 折疊，折痕交邊 AG、BG 于點 M、N，使得點 G 折疊后落在AT 邊上的點為 G′，求 AG′的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）當 t 為 6 時，四邊形 PABQ 是平行四邊形；（2）當 t=1 或 t=時，△PQF 是等腰三角形；（3）AG′的最大值與最小值分別是 6，8﹣2．

【解析】

（1）由梯形的性質得出當 PA=BQ 時，四邊形 PABQ 是平行四邊形，BQ=t，

OP=2t，得出方程，解方程即可；

過 Q作 QH⊥OF 于 H，①當 FP=FQ 時，求出 CQ=OH=12﹣t，PH=12﹣3t， 得出 FH=3t+6，由勾股定理得出方程，解方程即可；

②當 PF=PQ 時，PQ=P F=18，在 Rt△PQH 中，由勾股定理得出方程，解方程即可；

③當 PQ=FQ 時，PH=FH，得出方程 12﹣3t=6+3t，解方程即可；

當折痕經過點 A 時，AG=AG′=6，此時 AG′為最大值；當折痕經過點 B，另一點在 AG 上時 AG′最小，此時，BG=BG′=8，在 Rt△BG′T 中，由勾股定理求出TG′，得出 即可．

（1）∵OA∥BC，

∴PA∥BQ，

當 PA=BQ 時，四邊形 PABQ 是平行四邊形，BQ=t，OP=2t，

∵A（18，0），

∴PA=18﹣2t，

∴t=18﹣2t， 解得：t=6，

∴當 t 為 6 時，四邊形 PABQ 是平行四邊形；

（2）過 Q 作 QH⊥OF 于 H，如圖 1 所示：

分三種情況：

①當 FP=FQ 時，

∵PF=AO=18，

∴FQ=18，BQ=t，

∴CQ=OH=12﹣t，

∴PH=12﹣3t，

∴FH=3t+6，

在 Rt△QHF 中，由勾股定理得：QH2+FH2=FQ2，

∴82+（3t+6）2=182，

解得：t1=，t2=（不合題意舍去）；

②當 PF=PQ 時，PQ=PF=18，

在 Rt△PQH 中，由勾股定理得：PQ2=PH2+QH2，

∴（12﹣3t）2+82=182，

解得：t1=（不合題意舍去），t2=（不合題意舍去）；

③當 PQ=FQ 時，PH=FH，

∴12﹣3t=6+3t， 解得：t=1；

綜上所述，當 t=1 或 t=時，△PQF 是等腰三角形；

（3）當折痕經過點 A 時，如圖 2 所示：

AG=AG′=6，此時 AG′為最大值；

當折痕經過點 B，另一點在 AG 上時 AG′最小，如圖 3 所示：

此時，BG=BG′=8，

∵BT=6，

∴在 Rt△BG′T 中，

∴

綜上所述：AG′的最大值與最小值分別是