Question

【題目】已知關于x的方程x2﹣（m+n+1）x+m（n≥0）的兩個實數根為α、β，且α≤β．

（1）試用含α、β的代數式表示m和n；

（2）求證：α≤1≤β；

（3）若點P（α，β）在△ABC的三條邊上運動，且△ABC頂點的坐標分別為A（1，2）、B（，1）、C（1，1），問是否存在點P，使m+n=？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）m=αβ，n=α+β﹣αβ﹣1；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】分析：(1)、根據韋達定理即可得出答案；(2)、首先求出（1﹣α）（1﹣β）的值為－n，從而根據n的取值范圍得出答案；(3)、先根據條件確定動點所在的邊，然后再確定點的坐標．

詳解：解：（1）∵α、β為方程x2﹣（m+n+1）x+m=0（n≥0）的兩個實數根，

∴判別式△=（m+n+1）2﹣4n=（m+n﹣1）2+4n≥0，且α+β=m+n+1，αβ=m，

于是m=αβ，n=α+β﹣m﹣1=α+β﹣αβ﹣1；

（2）∵（1﹣α）（1﹣β）=1﹣（α+β）+αβ=﹣n≤0（n≥0），又α≤β，∴α≤1≤β；

（3）若使m+n成立，只需α+β=m+n+1=，

①當點M（α，β）在BC邊上運動時，由B（，1），C（1，1），得≤α≤1，β=1，

而α=﹣β=﹣1=＞1，故在BC邊上存在滿足條件的點，其坐標為（，1）所以不符合題意舍去； 即在BC邊上不存在滿足條件的點

②當點M（α，β）在AC邊上運動時，由A（1，2），C（1，1），得α=1，1≤β≤2，

此時β=﹣α=﹣1=，又因為1＜＜2，故在AC邊上存在滿足條件的點，其坐標為（1， ）；

③當點M（α，β）在AB邊上運動時，由A（1，2），B（，1），得≤α≤1，1≤β≤2，

由平面幾何知識得， ，于是β=2α，由，解得α=，β=，

又因為＜＜1，1＜＜2，故在AB邊上存在滿足條件的點，其坐標為（， ）．

綜上所述，當點M（α，β）在△ABC的三條邊上運動時，存在點（1， ）和點（， ），使m+n=成立．