Question

【題目】如圖，AD是△ABC的角平分線，以AD為弦的⊙O交AB，AC于E，F，已知EF∥BC．

（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若已知AE=9，CF=4，求DE長；
（3）在（2）的條件下，若∠BAC=60°，求tan∠AFE的值及GD長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OD，

∵AD是△ABC的角平分線，

∴∠1=∠2，

∴ = ，

∴OD⊥EF，

∵EF∥BC，

∴OD⊥BC，

∴BC是⊙O的切線

（2）解：連接DE，

∵ = ，

∴DE=DF，

∵EF∥BC，

∴∠3=∠4，

∵∠1=∠3，

∴∠1=∠4，

∵∠DFC=∠AED，

∴△AED∽△DFC，

∴ ，即 ，

∴DE2=36，

∴DE=6

（3）解：過F作FH⊥BC于H，

∵∠BAC=60°，

∴∠1=∠2=∠3=∠4=30°，

∴FH= DF= =3，DH=3 ，

∴CH= = ，

∵EF∥BC，

∴∠C=∠AFE，

∴tan∠AFE=tan∠C= = ；

∵∠4=∠2．∠C=∠C，

∴△ADC∽△DFC，

∴ ，

∵∠5=∠5，∠3=∠2，

∴△ADF∽△FDG，

∴ ，

∴ = ，即 = ，

∴DG= ．

【解析】（1）連半徑，證垂直。連接OD，由AD是△ABC的角平分線。得出圓周角相等，繼而得弧相等，根據垂徑定理得出OD⊥EF，再根據EF∥BC，得到OD⊥BC，即可得證。
（2）先證明DE=DF，再證明△AED∽△DFC，根據相似三角形的性質得對應邊成比例，即可求出DE的長。
（3）抓住已知∠BAC=60°，既可以證得∠4=30°，由此添加輔助線過F作FH⊥BC于H，Rt△DFH和Rt△FHC中就可以求出線段FH、DH、CH的長，根據平行得角相等，即可求出an∠AFE的值，再證明△ADC∽△DFC和△ADF∽△FDG，找到中間比，繼而就可以求出DG的長。
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解垂徑定理的相關知識，掌握垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧，以及對切線的判定定理的理解，了解切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．