Question

【題目】如圖，BC為⊙O的直徑，A為圓上一點，點F為 的中點，延長AB、AC，與過F點的切線交于D、E兩點．
（1）求證：BC∥DE；
（2）若BC：DF=4：3，求tan∠ABC的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OF，

∵點F為 的中點，

∴ ，

∴∠BOF=∠COF，

∵BC為直徑，

∴∠BOF+∠COF=180°，

∴∠BOF=∠COF=90°，

∵過F點的切線交于D、E兩點，

∴OF⊥DE，

∴∠OFE=90°，

∴∠BOF=∠OFE，

∴BC∥DE

（2）解：過點B作BG⊥DE于點G，

∴四邊形BGFO是正方形，

∴BG=OF=GF=OB，

∵BC：DF=4：3，

∴BG：DG=2：1，

由（1）可知，tan∠ABC=tan∠BDG= =2．

【解析】（1）連接OF，由題意，可得∠BOF=∠COF=90°，根據切線的性質，可得∠OFE=90°，利用平行線的判定，即可證明；（2）過點B作BG⊥DE于點G，可得四邊形BGFO是正方形，由BC：DF=4：3，可得BG：DG=2：1，利用銳角三角函數即可求得tan∠ABC．
【考點精析】通過靈活運用切線的性質定理和解直角三角形，掌握切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑；解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)即可以解答此題．